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曲面と水平面からなる質量4.0kgの台Bが、なめらかな床の上に置かれている。台Bの水...

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tor********さん

2018/10/2311:02:50

曲面と水平面からなる質量4.0kgの台Bが、なめらかな床の上に置かれている。台Bの水平面から高さ0.50mの曲面上から質量1.0kgの小球Aを静かに滑らせた。

この後、小球Aが台Bの水平面上を動いているときの床に対するAとBそれぞれの速さを求めなさい。
こたえは、A、Bそれぞれ2.8m/s、0.70m/sなのですが、解き方を教えてください。

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ken********さん

2018/10/2312:33:13

tor********さん

B の質量:M=4.0 [kg]
最初の高さ:h=0.50 [m]
A の質量:m=1.0 [kg]

小球A が水平面を滑っているときのA,B の速度をv, V とすると、
水平方向の運動量が保存するので、
0=mv+MV …①

力学的エネルギーも保存するので、
mgh =(1/2)mv^2 +(1/2)MV^2 …②

①より、
V=-mv/M …①'

②より、
2mgh=mv^2 +MV^2

①' を代入して、
2mgh=mv^2 +M・(mv/M)^2
2mgh=mv^2 +(mv)^2 /M
2mgh=mv^2 (1 +m/M)
2mgh=mv^2 (M+m)/M
2gh=v^2 (M+m)/M
v^2 =2Mgh/(M+m)
∴ v=√[2Mgh/(M+m)]

①' より、
V=-m√{2gh/[M(M+m)]}

となります。

数値を代入しておきます。
v=√[2×4.0×9.8×0.50 /(4.0+1.0)]
=√(4.0×49 /25)
=2.0×7.0/5.0
=2.8 [m/s]

①' より、
V=-1.0×2.8/4.0
=-0.70 [m/s]

答. A:2.8 [m/s]、B:0.70 [m/s]


となります。

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