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偏微分について質問です。

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ID非公開さん

2018/11/2200:00:04

偏微分について質問です。

z=f(x,y) x=rcosθ y=rsinθ のとき、

Zxx+Zyy=Zrr+Zθ/r+Zθθ/r^2
が成り立つことを示せ

という問題を合成関数の2次偏導関数の求め方を知らないで解くことは可能でしょうか。

可能ならば、解法を教えてください。

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ne_********さん

2018/11/2300:45:26

座標変換での微分演算子の変換
∂/∂x = ∂r/∂x ∂/∂r + ∂θ/∂x ∂/∂θ
∂/∂y = ∂r/∂y ∂/∂r + ∂θ/∂y ∂/∂θ
から
∂/∂x = cosθ ∂/∂r - sinθ/r ∂/∂θ,
∂/∂y = sinθ ∂/∂r + cosθ/r ∂/∂θ.

(∂/∂x)^2
= (cosθ ∂/∂r - sinθ/r ∂/∂θ)(cosθ ∂/∂r - sinθ/r ∂/∂θ)
= (cosθ)^2 (∂/∂r)^2 + sinθcosθ/r^2 ∂/∂θ
+ (sinθ)^2/r ∂/∂r - 2sinθcosθ/r ∂/∂r∂/∂θ
+ sinθcosθ/r^2 ∂/∂θ + (sinθ/r)^2 (∂/∂θ)^2

(∂/∂y)^2
= (sinθ ∂/∂r + cosθ/r ∂/∂θ)(sinθ ∂/∂r + cosθ/r ∂/∂θ)
= (sinθ)^2 (∂/∂r)^2 - sinθcosθ/r^2 ∂/∂θ
+ (cosθ)^2/r ∂/∂r + 2sinθcosθ/r ∂/∂r∂/∂θ
- sinθcosθ/r^2 ∂/∂θ + (cosθ/r)^2 (∂/∂θ)^2

以上足すと
(∂/∂x)^2 + (∂/∂y)^2
= (∂/∂r)^2 + 1/r ∂/∂r + 1/r^2 (∂/∂θ)^2
= 1/r^2(r∂/∂r(r∂/∂r) + (∂/∂θ)^2)

すなわち
z_{xx} + z_{yy} = 1/r^2(r∂/∂r(r∂z/∂r) + (∂/∂θ)^2 z)

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