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この問題の12番で答えが67になるのですが、解き方が書いていなくて自分でどうやっ...

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ID非公開さん

2018/12/222:14:24

この問題の12番で答えが67になるのですが、解き方が書いていなくて自分でどうやっても答えが合いません。どなたか解き方も踏まえて教えてください。

補足13番もお願いします。

解き方,整数,2 7 12 17 22,4 11 18 25 32,ABCD,ax5³+bx5,答え

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nij********さん

2018/12/311:53:41

3で割ると1余り、
5で割ると2余り、
7で割ると4余る数
に、
3+5x7=38
を加えると、
3でも5でも7でも割り切れますね。
n+38=3x5x7xk
(n=105k-38)
kは1以上の整数

最小のnは、
k=1のとき
105・1-38
=67.................(こたえ)


ポイントは、
5で割る2と余り、
7で割る4と余る
数に、3を加えると、
5でも7でも割り切れる。
という事に
気が付くかどうかですね。


大きな数でまず考えて
候補を調べることによって、
簡単に成ることがあります。
2,7,12,17,22,27,32,----
4,11,18,25,32,----
共通な数は、
32+5x7xp
pは0以上の整数

p=1のとき、
32+35=67=3x22+1
より、
求める最小の数は、67


13.
(証明)
題意より、
n=ax5³+bx5²+cx5+d
a+b+c+d=4k
a≠0
a,b,c,dは0以上の整数
と置くことが出来ます。

よって、
n=125a+25b+5c+d
=(4x31+1)a+(4x6+1)b+(4+1)c+d
=4(31a+6b+c)+(a+b+c+d)
=4(31a+6b+c)+4k
=4{(31a+6b+c)+k}
=4(31a+6b+c+k)
31a+6b+c+kは整数より、
nは4の倍数である。

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