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∬(x^4*exp(xy))/y dxdy D={(x,y)|1≦x≦√2,x≦y≦x^3}は解くことは可能ですか?凄く難...

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ID非公開さん

2018/12/917:01:40

∬(x^4*exp(xy))/y dxdy D={(x,y)|1≦x≦√2,x≦y≦x^3}は解くことは可能ですか?凄く難しいのですが

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ベストアンサーに選ばれた回答

2018/12/919:03:17

y から積分を処理しようとするととっても大変なことになるので
積分順序の交換により x から積分を行っても初等関数の範囲では処理できないだろう。

z=xy, w=x^2 としてみてはどうだろうか。
x=√(w), y=z/√(w) より、
∂(x,y)/∂(z,w)={{0, 1/(2√(w))}, {1/√(w), -z/(2w√(w))}}
よりヤコビアンは -1/(2w)
よって、被積分関数は変数変換により
(1/(2w))(w^(5/2) exp(z)/z)
=(w^(3/2) e^z)/(2 z)
D={(x,y)| 1<=x<=√2, x<=y<=x^3 }
={(x,y)| x>0, 1<=x^2<=2, x^2<=xy<=x^4 }
={(z,w)| 1<=w<=2, w<=z<=w^2 }
={(z,w)| 1<=w<=2, w<=z<=w^2 }
={(z,w)| (1<=z<=2, √(z)<=w<=z) ∨ (2<=z<=4, √(z)<=w<=2)}
とできる。

一応、これで変数分離形にはなったので、w から積分を行えば
何とか一変数の問題に帰着させるところまではたどり着ける。

(1/10)∫[z=1,2](2z^(3/2)-2z^(1/4))exp(z)dz
+(1/10)∫[z=2,4](8√(2)/z-2z^(1/4))exp(z)dz

ただ、これでもなお原始関数が初等関数にはならないので
解析解を求めるのは困難である。
数値解でよければ次のリンク先を参照のこと。
http://ja.wolframalpha.com/input/?i=Integral%5BPiecewise%5B%7B%7B(E...

特に変数変換、積分順序の変更をせずに計算させた結果も
次のリンク先に示す。
http://ja.wolframalpha.com/input/?i=Integral%5B(x%5E4+E%5E(x+y))%2F...

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    質問者

    ID非公開さん

    2018/12/919:12:55

    exp(y)/yの形が問題を複雑にする原因でありこれは初等関数では解けないと言うことですよね、仮にとくならどのような考え方が有効なのでょうか

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