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東大の入試問題で、π>3.05だということを証明する問題がありますが

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ID非公開さん

2018/12/2712:07:54

東大の入試問題で、π>3.05だということを証明する問題がありますが

六角形ではダメで、八角形では出来ますが、八角形で出来るというのはやってみたら出来たという感じですか?

八角形で出来るというのは計算で分かりますか?

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kan********さん

2018/12/2712:53:07

まず着想の原点として

より大きい、の時は「外接円」(円の中に正三角形など正多角形のイメージ)

より小さい、の時は「内接円」(正三角形など正多角形の中に円のイメージ)

外接円の円周は正多角形の外周よりも大きい。

これがするりと思いつくか?
ここで8割9割だと思います。


そうすると、すんなり次のステップ、わかりやすい正多角形は正6角形だ
6は暗算でもできますね。

内側にある正6角形の1辺は半径に等しいので6半径=3直径=正6角形の外周
よって3直径<円周→円周率は3よりでかい

これで、3<パイ、まできました。
(ちなみに正三角形の場合は約2.55<パイが証明される)

ここまでを、このスジで進んだ人は「6を増やせばあたりは近い。左が3.05をこえればいいんだ」と思いますから「6の次は8」でビンゴになる。

ここまでくれば、正八角形を計算しはじめた段階で、全員が全員、詰みを確信している状態だと思います。


着想がしっかりしていれば一本道の詰み筋だったかなと(後になって思えば)思いつく。こういうのを後の祭りといいます。

初出の段階で、東大入試という大舞台で、問題を読んで、ほんわか円の中に正多角形のイメージが浮かんだ人間は、素晴らしいと思います。

微積や数式をこねて、おかしくして、フリーズという人も多かったのではないでしょうか

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質問した人からのコメント

2019/1/1 00:57:10

皆様ありがとうございます!
凄く分かりやすくて納得しました!

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odd********さん

2018/12/2712:13:50

円をn角形で近似できるというのが背景にあって、n=6 で駄目なら n=8 でやってみようかなあという感じだと思います.n が増大すると円に近づくわけです(いわば円は正∞角形なので)

eps********さん

2018/12/2712:09:46

評価の過程は試行錯誤です。

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