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x^2+y^2+z^2=1を満たす、実数x,y,zのもとで

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ID非公開さん

2019/1/1116:26:20

x^2+y^2+z^2=1を満たす、実数x,y,zのもとで

x+2y+3zの最大値と最小値を求めよ。

解説お願いします。(^人^)

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hir********さん

2019/1/1116:32:34

シュワルツの不等式だけ。

(1+4+9)(x^2+y^2+z^2)≧(x+2y+3z)^2.
從って、x^2+y^2+z^2=1より、
(x+2y+3z)^2≦14 → |x+2y+3z|≦√14

等号成立は?

  • hir********さん

    2019/1/1116:51:18

    (別解)
    x+2y+3z=k、として、x=k-2y-3z、を、
    x^2+y^2+z^2=1、に代入する。
    つまり、5y^2+2(6z-2k)y+(10z^2-6kz+k^2-1)=0 ‥‥①
    これが実数解を持つから、判別式≧0
    よって、14z^2-6kz+k^2-5≦0 ‥‥②
    これも実数解を持つから、判別式≧0 → |k|≦√14

    ・k=√14の時 ‥‥ ②から、z=3/√14.
    これを、①に代入すれば、yの値も出る。
    ・k=-14の時 ‥‥ ②から、z=-3/√14.
    これを、①に代入すれば、yの値も出る。

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