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a.b.cが実数であるとき次の不等式を証明せよ。 a^4+b^4+c^4≧abc(a+b+c) このよ...

cmm********さん

2019/1/2121:42:12

a.b.cが実数であるとき次の不等式を証明せよ。
a^4+b^4+c^4≧abc(a+b+c)

このようにあるのですが解き方が全くわかりません。解答の方よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

yos********さん

2019/1/2122:01:28

まず
a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca
証明は
a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
=(1/2){2a^2+2b^2+2c^2-2(ab+bc+ca)}
=(1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
≧0
これを利用して
a^4+b^4+c^4
=(a^2)^2+(b^2)^2+(c^2)^2
≧a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2
≧(ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)ab)
=abc(b+c+a)
=abc(a+b+c)
証明終わり

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質問した人からのコメント

2019/1/22 19:12:55

本当に助かりました。ありがとうございました。

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