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マクローリン展開の問題です。

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ID非公開さん

2019/2/1019:42:05

マクローリン展開の問題です。

【問題】
次の関数をマクローリン展開せよ.
f(x) = 1/(1-x)
【解】
f'(x) = (1-x)^(-2)
f''(x) = 2!(1-x)^(-3)
f'''(x) = 3!(1-x)^(-4)

f(ⁿ)(x) = n!(1-x)^{-(n+1)}
(※f(ⁿ)(x)はf(x)のn回微分です)
より
f(0) = 1
f'(0) = 1
f''(0) = 2!
f'''(0) = 3!

f(ⁿ)(0) = n!
したがって
P[n](x) = 1+x+(x^2)+…+x^n
これは初項1, 公比x, 項数n+1の等比数列の和だから
P[n](x) = {1-x^(n+1)}/(1-x)
これから
f(x)-P[n](x)
= {1/(1-x)}-{1-x^(n+1)}/(1-x)
= {x^(n+1)}/(1-x)
-1<x<1のとき,
lim[n→∞]x^(n+1) = 0
だから
lim[n→∞]{f(x)-P[n](x)} = 0
が成り立つ.
よって, f(x)のマクローリン展開は次のようになる.
1/(1-x) = 1+x+(x^2)+…+(x^n)+…
(|x|<1)
//
————————————————————
ここで質問です。
解において『-1<x<1』とありますが、
これは|r|<1の範囲、つまりp[n](x)が収束するxの範囲ということでしょうか?
また、『lim[n→∞]x^(n+1) = 0』はどういった計算になりますか?
|x|<1でどんどん小さくなっていくから0ということでしょうか..?
あとカテゴリは大学数学で合っていますか?
質問が多くてすみません。
回答よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

fro********さん

2019/2/1023:51:14

f(x)=1/(1-x)
ここで等比級数1+x+x²+x³+…=1/(1-x)を思い出すと
f(x)=1+x+x+x²+…=Σxⁿ

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/2/1100:01:29

    すみません。
    それは
    1+x+(x^2)+(x^3)+...+(x^n)+...=1/(1-x)
    を用いたマクローリン展開の求め方ですか?

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