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インテグラル0から3の|x-a|dx (絶対値)

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ID非公開さん

2019/2/1900:13:59

インテグラル0から3の|x-a|dx (絶対値)

の最小値とaの値を求めよ

この問題の考え方がわかりません。解説お願いします

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ベストアンサーに選ばれた回答

2019/2/1904:34:30

絶対値が絡む問題の対処の基本は、
その引数が正か負かで場合分けすること。

そうすれば、下記リンク先のとおりに場合分けすればいいことがわかるだろう。
http://ja.wolframalpha.com/input/?i=Piecewise%5B%7B%7BIntegrate%5Bx...

a=3/2 のとき最小値 9/4 をとる。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

ari********さん

2019/2/1913:29:30

f(a)=∫[x=0~3]|xーa|dx

直線:g(x)=xーa ト置いて 0≦x≦3 に於ける g(x) の符号に就いてグラフから考える。

a<0:g(x)>0。
0≦a≦3:0≦x≦a では g(x)≦0、a≦x≦3 では g(x)≧0。
3<a:g(x)<0。

以上より次のやふに場合分け。

(i) a<0:
f(a)=∫[x=0~3]g(x)dx
=[(1/2)*x^2ーax]_{x=0~3}
=(9/2)ー3a
f'(a)=-3<0、(単調減少)

(ii) 0≦a≦3:
f(a)=-∫[x=0~a]g(x)dx+∫[x=a~3]g(x)dx
=ー[(1/2)*x^2ーax]_{x=0~a}+[(1/2)*x^2ーax]_{x=a~3}
=a^2ー3a+(9/2)
f'(a)=2aー3 から極小値:f(3/2)=9/4

(iii) 3<a:
f(a)=ー∫[x=0~3]g(x)dx
=ー[(1/2)*x^2ーax]_{x=0~3}
=3aー(9/2)
f'(a)=3>0、(単調増加)

∴ (i)~(iii) から 最小値:f(3/2)=9/4

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