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数学(確率)の問題です。

fur********さん

2019/3/311:00:03

数学(確率)の問題です。

0以上1以下の実数を無作為に4つ選び、それらを順にa,b,c,dとする。
このとき
a<b+c
b<c+d
c<d+a
d<a+b
が全て成り立つ確率を求めよ。

よろしくお願いします。

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mel********さん

2019/3/817:56:34

K1={(x,y,z,w) ∈[0,1]^4; x≧y+z }
K2={(x,y,z,w) ∈[0,1]^4; y≧z+w }
K3,K4も順に同様に定める。

Volで(超)体積を表す。

Vol(K1 ∩ K3)=0
Vol(K2 ∩ K4)=0
なので

Vol(K1 ∪ K2 ∪ K3 ∪ K4 )

=Vol(K1)+...+Vol(K4)
-Vol(K1 ∩ K2)-...-Vol(K4 ∩ K1)

=4Vol(K1)-4Vol(K1 ∩ K2)

Vol(K1)=1/6

Vol(K1 ∩ K2)は真面目に積分してもいいしたぶん
(0,0,0,0)(1,0,0,0)(1,1,0,0)(1,1/2,1/2,0)(1,1,0,1)
を頂点とする立体だから
1 1 1 1
0 1 1/2 1
0 0 1/2 0
0 0 0 1
の行列式1/2の1/24倍で1/48

Vol(K1 ∪ K2 ∪ K3 ∪ K4 )

=4/6-4/48=7/12

というわけで1-7/12=5/12ですかね。

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