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a(n+1)=a(n)+log(a(n)) ,a(1)>1のとき lim(n→∞){Π(k=1~n)a(k)}^(1/3^n) を求め...

har********さん

2019/3/1613:51:22

a(n+1)=a(n)+log(a(n)) ,a(1)>1のとき
lim(n→∞){Π(k=1~n)a(k)}^(1/3^n)
を求めてください。
出来ればこの問題を改良してくださるとありがたいです。m(__)m

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ベストアンサーに選ばれた回答

nyn********さん

2019/3/1710:50:58

帰納法でa(n)>1が任意のnで成り立つ
x>1で、logx<x-1 なので
a(n+1)=a(n)+log(a(n))<a(n)+(a(n)-1)<2a(n)<2^na(1)

log{Π(k=1~n)a(k)}=Σ(k=1~n)log(a(k))=Σ(k=1~n){a(k+1)-a(k)}

=a(n+1)-a(1)<a(1)(2^n-1)

0<log{Π(k=1~n)a(k)}/3^n<a(1)(2^n-1)/3^n→0(n→∞)

lim log{Π(k=1~n)a(k)}/3^n=0

lim{Π(k=1~n)a(k)}^(1/3^n)=1

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質問した人からのコメント

2019/3/21 19:08:07

参考になりました。

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