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『0≦θ≦2πの時、sin4θ+cos6θ=0を満たすθの個数を求めよ。』 sinどうしやcosどうし...

dig********さん

2019/3/1919:01:48

『0≦θ≦2πの時、sin4θ+cos6θ=0を満たすθの個数を求めよ。』
sinどうしやcosどうしならば和積を使って解けそうですが、この場合はどうしたら良いですか?
解答お願いします。

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oda********さん

2019/3/2117:34:04

cos(6θ)=sin(π/2-6θ)より
sin(4θ)+cos(6θ)
=sin(4θ)+sin(π/2-6θ)
=2sin((4θ+π/2-6θ)/2)cos((4θ-π/2+6θ)/2)
=2sin(π/4-θ)cos(5θ-π/4)
であるから, sin(4θ)+cos(6θ)=0のとき
sin(π/4-θ)=0 or cos(5θ-π/4)=0.

(ⅰ)sin(π/4-θ)=0のとき
0≦θ≦2πの範囲でsin(π/4-θ)=0となるのは
π/4-θ=-π, 0⇔θ=5π/4, π/4
のときである.

(ⅱ)cos(5θ-π/4)=0のとき
0≦θ≦2πの範囲でcos(5θ-π/4)=0となるのは
5θ-π/4=π/2+2kπ, 3π/2+2kπ (k=0,1,2,3,4)
⇔θ=3π/20+2kπ/5, 7π/20+2kπ/5 (k=0,1,2,3,4)
のときである.

θ=5π/4, π/4のとき
5θ-π/4=6π, π
であり, このときはcos(5θ-π/4)≠0であるから, (ⅰ)で得られた解は(ⅱ)で得られた解と重複していない. ゆえに解の個数は(ⅰ)の2個と(ⅱ)のときの10個を合わせた12個である.

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ran********さん

2019/3/2001:31:50

無駄の極みみたいな解が書いてあるから簡単に

sin4θ=cos(π-6θ)=sin(π/2-(π-6θ))より
sin4θ=sin(-π/2+6θ)
∴4θ=-π/2+6θ+2nπ,π-(-π/2+6θ)+2nπ
∴4θ=-π/2+6θ+2nπ,3π/2-6θ+2nπ
θ=π/4-nπ,3π/20+nπ/5
後はnに数字を代入して終わり。

単位円が理解できていれば当たり前。

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sta********さん

2019/3/2000:31:33

sin4θ+cos6θ=0

sin4θ=−cos6θ

解の個数だけを求めればよいので

y=f(θ)=sin4θ…❶

y=g(θ)−cos6θ…❷

のグラフの交点の数を数えればよい。

※ 以下、言葉で説明しているが、正確にグラフを描画すれば交点の数はすぐに得られる。

このグラフはθ=πで対称であるから、0≦θ≦πにおける交点の数を2倍すればよい。

それから図を書けば明らかなのであるが、実質的には0≦θ≦π/2におけるグラフの交点の数を4倍すればよい(区間[0,π/2]と区間[π/2,π])

0≦θ≦π/2におけるグラフの交点の数は3つあるので

3×4=12個

〔0≦θ≦π/2における考察のポイント〕

以下の区間に分けて❶、❷のグラフを考える

1)区間[0, π/8]

g(θ)<0<f(θ)だから交点なし


2)区間[π/8, π/6]

f(θ)は減少、g(θ)は増加であり

g(π/8)<f(π/8)、1=g(π/6)>f(π/6)

なので、この区間で交点は1つ存在する

3)区間[π/6, π/3]

f(θ)は減少、g(θ)は減少であり

1=g(π/6)>f(π/6)、−1=g(π/3)<f(π/3)

なので、この区間で交点は1つ存在する

4)区間[π/3, 3π/8]

f(θ)は減少、g(θ)は増加であり

−1=g(π/3)<f(π/3)、g(3π/8)>f(3π/8)=−1

なので、この区間で交点は1つ存在する

5)区間[3π/8, π/2]

f(θ)は増加、g(θ)は増加であり

g(3π/8)>f(3π/8)=−1、1=g(π/2)>f(π/2)=0

なので、この区間で交点はなし


以上から区間[0, π/2]での交点の数は3個

区間[0, 2π]ではこれを4倍すればよいので12個

(^_^)v

返信を取り消しますが
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iro********さん

2019/3/1919:34:26

sin(5θ-θ)+cos(5θ+θ)
=sin(5θ)cosθ-cos(5θ)sinθ
+cos(5θ)cosθ-sin(5θ)sinθ
=(sin(5θ)+cos(5θ))(cosθ-sinθ)
=√2(sin(5θ+π/4))√2(cos(θ+π/4))
から
θ=3π/20,7π/20,11π/20,15π/20,19π/20,23π/20,27π/20,31π/20,35π/20,39π/20
θ=3π/4,7π/4
の12個になりました.

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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dri********さん

2019/3/1919:15:47

2θ=α、とする。従って、0≦α≦4π ‥‥①

この時、方程式は、sin2α+cos3α=0、である。
cos3α=sin(π/2-3α)、だから、sin2α+sin(π/2-3α)=0
これを積にして、①の条件で、この方程式を解くだけ。

続きは、自分でやって。

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