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偏微分の極限について質問します。 大問4の(1)についてなのですが、おそらくラ...

nec********さん

2019/3/2817:48:17

偏微分の極限について質問します。
大問4の(1)についてなのですが、おそらくラグランジュの乗数法を用いて解こうとしてもうまく求められません。

どなたかわかる方よろしくお願いいたしま

す。

ラグランジュ,偏微分,大問,乗数法,x-y,極値,陰関数定理

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ベストアンサーに選ばれた回答

ami********さん

2019/4/200:46:40

極値の候補は、ラグランジュの定理で解けると思います。
それが最大値(極大値)か最小値(極小値)になるかは、
陰関数の定理なども引用して展開する必要があります。
次のようになりますので参照してください。
F(x,y,λ)=x^2+y^2-λ(x^2/9+y^2/4-1) とおくとき、
Lagrangeの未定乗数法より、極値の候補は連立方程式
{F_x (x,y,λ)=0
F_y (x,y,λ)=0
F_λ (x,y,λ)=0 ⇔
{(2x-2/9 λx=0
2y-1/2 λy=0
x^2/9+y^2/4-1=0) ⇔
{(x(9-λ)=0 …①
y(2-λ)=0 …②
x^2/9+y^2/4-1=0 …③
の解となります。
①より、x=0 または λ=0. x=0 のとき、③に代入して、
y^2/4-1=0 より y=±2.
このとき②より±2(2-λ)=0 より、λ=2 よって、x=0のとき解は(0,±2,2)
λ=9のとき、②に代入して-7y=0 より、y=0. これを③に代入して、x^2/9-1=0。
これを解いて、x=±3 。よって、λ=9のとき解は(±3,0,9)
以上より、f(x,y)の極値の候補は(0,±2), (±3,0) となります。
次に、それぞれの極値の候補が最大値、最小値を与えるかを判定します。
まず2点(0,±2)において、g(x,y)=x^2/9+y^2/4-1 とおくとき、
g_y (0,±2)=1/2 (±2)=±1≠0 より、陰関数定理より、2点それぞれの近傍で、
ある関数y=u_± (x) が存在して、±2=u_± (0),
g(x,u_± (x))=0 、u_±^' (x)=-(g_x (x,u_± (x)))/(g_y (x,u_± (x)) )=-(2/9 x)/(y/2)=-4x/9y
このとき、p(x)≔f(x,u_± (x)) とおくと、
p^' (x)=f_x (x,u_± (x))+f_y (x,u_± (x)) u_±^' (x)=2x+2y(-4x/9y)=2x-8/9 x=10/9 x
これより、y=p^' (x) は、x=0の前後で、符号が-から+に変るので、
2点(0,±2)は極小値であることが分かります。
グラフより、2点(0,±2)でf(x,y)は最小値、4(=p(0))を取ります。
同様に2点(±3,0)において、g_x (±3,0)=2/9 (±3)=±2/3≠0 より、
陰関数定理より、2点それぞれの近傍で、ある関数x=v_± (y) が存在して、±3=v_± (0),
g( v_± (y),y)=0 、v_±^' (y)=-(g_y (v_± (y),y))/(g_x (v_± (y),y) )=-(y/2)/(2/9 x)=-9y/4x
このとき、q(y)≔f(v_± (y),y) とおくと、
q^' (y)=f_x (v_± (y),y) v_±^' (y)+f_y (v_± (y),y)=2x(-9y/4x)+2y=-9/2 y+2y=-5/2 y
これより、z=q^' (y) は、y=0の前後で、符号が+から-に変るので、
2点(±3,0)は極大値であることが分かります。
グラフより、2点(±3,0)でf(x,y)は最大値、9(=q(0))を取ります。

極値の候補は、ラグランジュの定理で解けると思います。
それが最大値(極大値)か最小値(極小値)になるかは、...

質問した人からのコメント

2019/4/3 15:15:47

おぉ…素晴らしい回答ありがとうございます!!
本当に助かりました !!!
よければまたよろしくお願いいたします、!

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ssm********さん

2019/3/3113:39:36

x=3c, y=2s (c=cosφ、s=sinφ) とおくことができて、
f(x, y)=4+5*c^2 ゆえ、
4≦f(x, y)≦9.です。

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