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関数f(x)=x^3-3px+pの極大値が正、極小値が負である。ただしPは定数とする。

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ID非公開さん

2019/4/416:18:27

関数f(x)=x^3-3px+pの極大値が正、極小値が負である。ただしPは定数とする。

(1)Pの値はどんな範囲にあるか

という問で、解説に、「極値を持つからP>0」とあるのですが、こう言えるのは何故ですか?

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jjs********さん

2019/4/515:28:24

f(x)=x^3-3px+p
p=0は極値がないからp≠0

f'(x)=3x^2-3p=0
p>0のとき_極大_x=-√p___極小_x=√p
p<0のとき__複素解_極値は、ない

q=√p_と置く

極大値が正は__-q^3+3pq+p>0__∴q^3-3pq<p
極小値が負は__q^3-3pq+p<0___∴q^3-3pq<-p

両式が成り立つのは__q^3-3pq<-p
-2pq+p<0
p(2q-1)>0
q>1/2
p>1/4_____答え

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nij********さん

2019/4/417:16:41

f(x)=x³-3px+p
より、
f`(x)
=3x²-3p
=3(x²-p)

p≦0と仮定すると、
f`(x)
=3{x²+(-p)}
≧0

y=f(x)は増加関数ですね。
極値は持ちません。
矛盾

よって、
極値を持つことより、
p>0

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