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(1)から躓いています。

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ID非公開さん

2019/4/1223:56:27

(1)から躓いています。

どなたか助けてください。

x-2,剰余,定理,関数,ax²+bx,商,関数f

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kdt********さん

2019/4/1315:08:20

(1)
f(x)を(x-2)²で割ったときの商をQ(x)とおくと
f(x)=(x-2)²Q(x)+2x+1

剰余の定理より、
f(x)をx-2で割った余りはf(2)だから

求める余りは、f(2)=4+1=5



(2)
f(x)を(x-2)(x+1)で割ったときの商をQ₂(x)
二次式で割った余りは一次以下だから
余りをax+bとおくと

f(x)=(x-2)(x+1)Q₂(x)+ax+b…①

x+1で割った余りが26だから
剰余の定理より、f(-1)=26…②
また、(1)より、f(2)=5…③

①,②より、-a+b=26
①,③より、2a+b=5

これを解いて、a=-7,b=19

よって求める余りは、-7x+19



(3)
f(x)を(x-2)²で割ったときの商をQ(x)とおくと
f(x)=(x-2)²Q(x)+2x+1…①

x+1で割った余りが26だから
剰余の定理より、f(-1)=26
(-1-2)²Q(-1)+2・(-1)+1=26
9Q(-1)=27
Q(-1)=3

剰余の定理よりQ(x)をx+1で割った余りは3だから
そのときの商をR(x)とおくと

Q(x)=(x+1)R(x)+3

①に代入して
f(x)=(x-2)²{(x+1)R(x)+3}+2x+1
=(x-2)²(x+1)R(x)+3(x-2)²+2x+1
=(x-2)²(x+1)R(x)+3x²-10x+13

したがって、f(x)を(x-2)²(x+1)で割った余りは
3x²-10x+13

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pcg********さん

2019/4/1306:08:18

(1)
f(x)を(x-2)^2で割ったときの商をQ(x)とすると
f(x)=(x-2)^2Q(x)+2x+1
f(2)=5
よって
(x-2)で割った余りは5

shu********さん

2019/4/1303:00:45

まず、問題文の条件から、関数f(x)がどのように表されるのかを
考えるところから始めます。

関数f(x)は(x-2)²で割ると、2x+1あまり、x+1で割ると26余るので、
f(x)=(x-2)²Q₁(x)+2x+1=(x+1)Q₂(x)+26
(ただし、Q₁(x)、Q₂(x)は整式)の2通りで表すことができます。
このことを前提に、問題を解いていきましょう。

(1) f(x)をx-2で割った時の余りを求めよ。

この問題が聞いているのは、
「関数f(x)が、f(x)=(x-2)Q₃(x)+R の形で表わされるとき、
定数Rの値はいくつになるか」ということです。

ここで、関数Q₃(x)は不明ですが、
x=2を代入すると、x-2=0 となり、Q₃(x)が消えるので、
R単体の式になることがわかります。つまり、f(2)=Rです。

また、f(x)=(x-2)²Q₁(x)+2x+1 とも表されるので、
f(2)=0×Q₁(2)+2∙2+1=5 であることがわかり、
R=5 であることがわかります。

よって、f(x)をx-2で割った余りは5となります。

(2) f(x)を(x-2)(x+1)で割った時の余りを求めよ。

(1)同様に考えると、この問いが聞いているのは
「f(x)=(x-2)(x+1)Q₄(x)+ax+b と表されるとき、
余り ax+b のa, bの値はいくつか」ということです。

これも同様に、f(x)=(x-2)²Q₁(x)+2x+1=(x+1)Q₂(x)+26
と表されることから、
f(2)=0×3×Q₄(2)+2a+b=2a+b=0²×Q₁(2)+2∙2+1=5…①
f(-1)=(-3)×0×Q₄(-1)-a+b=-a+b=0×Q₂(-1)+26=26…②
の2つの式が立てられることがわかります。

よって、この2式①、②を連立すると、a=-7, b=19 となるので、
余りは-7x+19 ということがわかります。

(3) f(x)を(x-2)²(x+1)で割った時の余りを求めよ。

これも、同じようにf(x)=(x-2)²(x+1)Q₅(x)+ax²+bx+c
と、おいてあげればいいのですが、純粋に代入するだけでは、
条件式が2式しか立たず、a, b, cを全て求めることができません。
なので、少しやり方を変えます。

f(x)を(x-2)²で割るということは、
f(x)=(x-2)²(x+1)Q₅(x)+ax²+bx+c
=(x-2)²{(x+1)Q₅(x)+a}+(4a+b)x+(-4a+c)
というように式を変形するということであり、
その余りは2x+1に等しいので、係数を比較すると、
4a+b=2…①、-4a+c=1…② が成立することがわかります。

また、f(x)をx+1で割った余りは26となるので、
f(-1)=0×Q₅(x)+a-b+c=a-b+c=26…③ も成立します。

このようにして、a, b, cに関する3式を手に入れられたので、
あとは式①、②、③を連立すると、
-b=4a-2, c=4a+1 より、
a-b+c=9a-1=26 から、a=3, b=-10, c=13 である。

よって、余りの式は3x²-10x+13 となります。

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