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高校数学 富山県立大 過去問

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ID非公開さん

2019/4/1719:34:49

高校数学 富山県立大 過去問

a,bは定数とする。2つの関数f(x)=x^2-2ax+a^2+b,g(x)=2|x|について次の各問に答えよ。
(1)b=0のとき、y=f(x)とy=g(x)の共有点の個数が4個となるように、aの値の範囲を定めよ。
(2)y=f(x)とy=g(x)の共有点の個数が1個のとき、aとbが満たす条件を求めよ。

この問題がわかりません。詳しい解説をよろしくお願い致します。できればグラフを書いて頂けると有難いです。

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wan********さん

2019/4/1914:48:36

(1)
f(x)=x^2-2ax+a^2=(x-a)^2
g(x)=x(x≧0),-x(x<0)

共有点の個数が4個⇔x<0で共有点2個,x>0で共有点2個
x>0で考える。共有点のx座標を求める
x^2-2ax+a^2=x
h(x)=x^2-(2a+1)x+a^2=(x-(2a+1)/2)^2+a^2-(1/4)(2a+1)^2
=(x-(2a+1)/2)^2-a-1/4
とすれば、y=h(x)がx>0においてx軸と2交点を持つためには
1.軸>0 ⇔ (2a+1)/2>0 ⇔ a>-1/2
2.頂点y座標<0 ⇔ -a-1/4<0 ⇔ -1/4<a
3.h(0)>0 ⇔ a^2>0 ⇔ a≠0
1,2,3の共通部分は、-1/4<aかつa≠0
x<0で考える
x^2-2ax+a^2=-x
J(x)=x^2-(2a-1)x+a^2=(x-(2a-1)/2)^2+a^2-(1/4)(2a-1)^2
=(x-(2a-1)/2)^2+a-1/4
とすれば、y=J(x)がx<0においてx軸と2交点を持つためには
1.軸<0 ⇔ (2a-1)/2<0 ⇔ a>1/2
2.頂点y座標<0 ⇔ a-1/4<0 ⇔ a<1/4
3.h(0)>0 ⇔ a^2>0 ⇔ a≠0
1,2,3の共通部分は、a<1/4かつa≠0

x<0で共有点2個,x>0で共有点2個 だから
それぞれのaの共通範囲が求めるもの
よって、-1/4<a<1/4 かつa≠0

  • wan********さん

    2019/4/1914:49:27

    (2)
    y=f(x)とy=g(x)の共有点の個数が1個
    ⇔ A(x<0では共有点0個、x>0で共有点1個)または B(x<0では共有点1個、x>0で共有点0個)

    f(x)=x^2-2ax+a^2+b=(x-a)^2+b
    Aのとき
    x<0では共有点0個
    g(x)=-xとの共有点のx座標を求める
    x^2-2ax+a^2+b=-x
    x^2-(2a-1)x+a^2+b=0
    これが解を持たない⇔判別式D<0
    D=(2a-1)^2-4(a^2+b)<0
    -4a+1-4b<0①
    x>0では共有点1個
    g(x)=xとの共有点のx座標を求める
    x^2-2ax+a^2+b=x
    x^2-(2a+1)x+a^2+b=0
    これがただ1つ解を持つ⇔判別式D=0
    D=(2a+1)^2-4(a^2+b)=0
    4a+1-4b=0②
    解は正なので軸>0⇔2a+1>0⇔a>-1/2③
    ①②③より,4a+1-4b=0 (-1/2<a<0)

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質問した人からのコメント

2019/4/19 17:27:54

丁寧な回答ありがとうございました。助かりました。

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