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現在復刻イデアル論入門(成田正雄著)を読んでいます。P99の定理3.31:Aをネ...

trg********さん

2019/4/2000:43:30

現在復刻イデアル論入門(成田正雄著)を読んでいます。P99の定理3.31:Aをネーター環、a1,a2,......arをAの元とする。a=(a1,a2,......ar)とおく。

pをaの極小素イデアルとする。もしA≠aならばheightp≦rである。
以上の定理の証明のなかでp100の文中で以下の事柄を述べています。
可換環Aでなく局所環Apで考えることしてpはq+(as)の極小素イデアルなることから、pは局所環Apの極大イデアルと仮定したことからq+(as)はp-準素イデアルである。
ここで質問ですが最後の一文:q+(as)はp-準素イデアルであるがどうしても理解できません。どなかたご教示お願い致しまし。
追記:添え字が大きくてすみません。またイデアルを表すドイツ語の小文字が入力できず、見ずらくすみません。

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sio********さん

2019/4/2021:28:07

Aを局所環、pをその極大イデアルとする。
qをAのイデアルとする。
rad(q)=pならば、qはpの準素イデアルとなる。
が成立するからです。
Aは局所環だから、
a∈Aのとき、a∈pでなければ、aは可逆元(正則元)となります。

質問した人からのコメント

2019/4/22 23:45:25

rad(q+(as))=pが成立すればq+(as)がp-準素イデアルは定義から分かるのですが、rad(q+(as))=pの成立に自信がありません。以下私の推論を展開します。pが極大イデアルゆえrad(q+(as))⊋pではありえずrad(q+(as))⊃pが成立する。またpは極大イデアルゆえp⊃rad(q+(as))が成立する。よっrad(q+(as))=pが成立する。コメントお願いします。

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nor********さん

2019/4/2003:23:35

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