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至急この問題を教えて欲しいです!!

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ID非公開さん

2019/4/2416:40:49

至急この問題を教えて欲しいです!!

よろしくお願いします!!

n-1,n-r,lim,はさみうち,n-k,問題

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ベストアンサーに選ばれた回答

def********さん

2019/4/2713:31:37

11.n^(1/n)=1+h[n] (n=2,3,・・・) により正数の列{h[n]}を定義するとき、lim[n→∞] h[n]=0 を導くことにより、lim[n→∞] n^(1/n)=1 であることを示せ。
==================================

n^(1/n)=1+h[n] と二項定理から、
n={1+h[n])^n
=1+nh[n]+(1/2)n(n-1)h[n]^2+Σ[k=3→n] C(n,k)h[n]^k
(ただし、C(n,r)は二項係数で、C(n,r)=n!/{r!(n-r)!} )
>(1/2)n(n-1)h[n]^2 (∵h[n]>0, C(n,k)>0)
∴h[n]^2<2/(n-1)
0<h[n]^2<2/(n-1) でn→∞のとき、右辺は0に収束するから、はさみうちの原理により、
lim[n→∞] h[n]^2=0 ∴lim[n→∞] h[n]=0

h[n]=n^(1/n)-1 だから、lim[n→∞] n^(1/n)=1

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