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R^3のベクトルを v1 = (2 0 1), v2 = (-1 1 -2), v3 = (3 1 4), v4 = (a b c) (a,b...

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ID非公開さん

2019/4/2606:09:01

R^3のベクトルを v1 = (2 0 1), v2 = (-1 1 -2), v3 = (3 1 4), v4 = (a b c) (a,b,c ∈ R)とする.

(1) v1, v2, v3が生成するベクトル空間の基底を一組求めよ.

(2) v1, v2, v3, v4 が生成するベクトル空間の次元が3となる a,b,c の条件を求めよ.

(3)行列A = (v1 v2 v3) を用いて, 1次写像 f : R^3 -> R^3を

f(x) = Ax (x ∈ R^3)

によって定める. fの核を求めよ.


解説よろしくおねがいします.

補足申し訳ありません。問題の「v1 = (2 0 1)」、「v3 = (3 1 4)」は誤りで、「v1 = (2 0 -1)」、「v3 = (3 1 -4)」でした。
また、与えられたベクトルはいずれも列ベクトルです。ごめんなさい。

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elg********さん

2019/4/2714:00:12

3本の3次元ベクトルを並べて作った行列
{v[1],v[2],v[3]} について、
det{v[1],v[2],v[3]}=8≠0 であるから
これらのベクトルはそのままR^3の基底をなす。
当然、各方向の単位ベクトルに規定を入れ替えても同じことである。

そんな R^3 の基底に v[4] を加えたベクトル空間もやはり R^3 である。

ということで、f(x)=Ax と定めたのであれば
Ax=0 の解は x=0 のほかは存在しない(∵ A^(-1) が存在する)ので
Kerf={0} である。

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2019/5/2 08:44:23

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