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aがbとcの両方と素であるとき、aはbcと素であることを証明してください。a,b,cはす...

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ID非公開さん

2019/5/1215:41:25

aがbとcの両方と素であるとき、aはbcと素であることを証明してください。a,b,cはすべて整数です。

補足また、dがaとbcの正の公約数であるとき、(a,c)=1ならば、d=1になるのはなぜですか?

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回答数:
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ベストアンサーに選ばれた回答

fer********さん

2019/5/1216:39:16

◎ a は b, cのいずれとも互いに素 ⇒ a は bc と互いに素 について
(証明)
a と bc の最大公約数を g とすると
a=gm, b=gn(m, n は互いに素な整数)と表されます。

また、a と b が互いに素なので
1=ax+by を満たす x, y が存在します。

そして、a と c が互いに素のなので
1=ax'+cy' を満たす x, y が存在します。

すると
1=(ax+by)(ax'+cy')
=a(axx'+bx'y+cxy')+bcyy'
=g{m(axx'+bx'y+cxy')+nyy'}
ここで、g は正整数で、m(axx'+bx'y+cxy')+nyy' は整数なので
g=1

したがって、a と bc は互いに素です。
(証明終わり)

==========
《補足について》
d が a と bc の正の公約数のとき
(a, c)=1 であっても、d=1 であるとは限りません。

例えば、a=b=2, c=1 , d=2 のとき
d は a と bc の正の公約数で、(a, c)=1 ですが
d=1 ではありません。

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/5/1216:53:13

    回答ありがとうございます。
    補足についてですが、補足にもaはb,cいずれとも互いに素という条件がついた場合どうなりますでしょうか?

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質問した人からのコメント

2019/5/12 17:06:18

最後までご丁寧にありがとうございました!

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