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2次関数y=x^2-4x+5(b≦x≦b+3)の最大値と最小値、およびそのときのxの値を求めよ。と...

ka0********さん

2019/5/1218:46:54

2次関数y=x^2-4x+5(b≦x≦b+3)の最大値と最小値、およびそのときのxの値を求めよ。という問題です。
よろしくお願いします!!

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iI.kさん

2019/5/1809:20:58

y=x²-4x+5 b≦x≦b+3
=(x-2)²+1
軸x=2が区間のどこにあるかで3通りの場合分けです。
①軸が区間左
即ち 2≦b
yは下に凸なので区間では単調増加。
最大値=y(b+3)
最小値=y(b)
②軸が区間内
b<2≦b+3 -1≦b<2
yは下に凸なので軸で最小になる。
最小値=y(2)=1
y(b+3)=b²+2b+2
y(b)=b²-4b+5
y(b+3)-y(b)=6(b-1/2)
-1≦b≦1/2の時
y(b)≧y(b+3)なので等号はb=1/2の時
最大値=y(b)
1/2<b<2の時
y(b+3)>y(b)なので
最大値=y(b+3)
③軸が区間右
即ち 2>b+3 b<-1
yは下に凸なので区間では単調減少。
最大値=y(b)
最小値=y(b+3)

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ベストアンサー以外の回答

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uni********さん

2019/5/1221:18:31

典型問題ですね、入試頻出です。場合分けを考慮しなければなりません。
二次関数を変形します。

y=(x-2)^2+1

下準備はおしまいです。ここから軸(x=2)がどこにあるのかを自分で定義します。解説を聞いてもイマイチ分からない場合は自分で図を書いてみましょう。
(i)2<=b
最大値は間違いなく”x=b+3”で、最小値は”x=b”です。
(ii)b<=2<=b+3
最小値は”x=2”となることは自明ですが、最大値に関しては両端のいずれかなので安易に求めることはできません。そこで定義域の中間値(x=b+1.5)に対して軸が左右のどちらにあるのかを設定します。
(iii)2>=b+3
最大値は間違いなく”x=b”で、最小値は”x=b+3”です。

これでどうでしょうか?

juugoyaokamiさん

2019/5/1219:00:01

y=x²-4x+5
=x²-4x+4+1
=(x-2)²+1
x=2のとき最小値1
よってb≦x≦b+3の範囲に2が入るかどうかによって最小値最大値が決まる。

b=2のとき
2≦x≦2+3
2≦x≦5
最小値
y=(2-2)²+1
=1
最大値
y=(5-2)²+1
=10


b+3=2のとき
b=-1
-1≦x≦2
最小値1
最大値
y=(-1-2)²+1
=10

b>2の範囲におい
最小値x=bのとき
y=(b-2)²+1
=b²-4b+4+1
=b²-4b+5
最大値x=b+3のとき
y=(b+3-2)²+1
=(b+1)²+1
=b²+2b+1+1
=b²+2b+2

b+3<2の範囲において
b<-1
最小値b+3のとき
y=(b+3-2)²+1
=b²+2b+2
最大値bのとき
y=(b-2)²+1
=b²-4b+4+1
=b²-4b+5

hir********さん

2019/5/1218:50:21

2次関数の値域の問題は、変域を動かすよりも、軸を動かした方が簡単にいく。
この問題も、変域に、文字定数:aが入ってるから扱いにくくなる。
変域を動かすより、軸を動かした方がやりやすいから、少し工夫しよう。

変域を、a≦x≦a+3 → 0≦x-a≦3、と変形する。
そこで、x-a=t、とすると、0≦t≦3の条件で
x^2-4x+5=t^2-2(2+a)t+a^2-4a+5=
{t-(2+a)}^2+1-8a=g(t)、の値域を求める事になる。
これは、下に凸の2次関数だから、軸の位置で値域も変わる。

・最小値 ‥‥ 変域の、左、中、右、で変わる
・最大値 ‥‥ 変域の中間=3/2で変わる

① (2+a)≧3 → a≧1の時
最大値=g(0)=a^2-4a+5
最小値=g(3)=(1-a)^2+1-8a

② 3/2≦(2+a)≦3 → -1/2≦a≦1の時、
最大値=g(0)=a^2-4a+5
最小値=g(2+a)=1-8a

③ 0≦(2+a)≦3/2 → -2≦a≦-1/2の時、
最大値=g(3)=(1-a)^2+1-8a
最小値=g(2+a)=1-8a

④ (2+a)≦0 → a≦-2の時、
最大値=g(3)=(1-a)^2+1-8a
最小値=g(0)=a^2-4a+5

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