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単位ステップ関数について質問です.

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ID非公開さん

2019/5/1700:00:42

単位ステップ関数について質問です.

再投稿失礼します.
私が使っている新応用数学という教科書では単位ステップ関数を下記のように定義しています(要約).

t>0のとき1, t≦0のとき0である関数U(t)について,
関数U(t-a) (aは定数)を考えると
『U(t-a)=0(t≦a), 1(t>a)』

一方, インターネットで検索してみると下記のような定義が多く見られるように思います.

『U(t)=0(t<0), 1(t≧0)』
『U(t-a)=0(t<a), 1(t≧a)』

▼閲覧したサイト(例)
⚪︎https://www.jeea.or.jp/course/contents/01138/

⚪︎https://eleking.net/math/m-laplace/ml-function.html

⚪︎https://math.keicode.com/laplace-transform/idou-housoku-2.php

⚪︎ https://itchyny.hatenablog.com/entry/20120726/1343293786

また別の教科書ではt=0の場合を含まない定義となっています.

『U(t)=0(t<0), 1(t>0)』
『U(t-a)=0(t<a), 1(t>a)』

何故このような違いがあるのでしょうか?
ラプラス変換や単位ステップ関数については勉強し始めたばかりでほぼ無知に近い状態です.
基本的なことかもしれませんが回答お願いします.

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fra********さん

2019/5/1903:52:06

1点での値を替えても積分には影響しませんね。従って、1点での値をどう決めようともラプラス変換すれば同じ関数になります。
*****

一般的には、ルベーグ積分においては、関数 f(x), g(x) が


任意の区間での積分値は同一,即ち,∫_(a,b) f(x) dx = ∫_(a,b) g(x) dx
∀a<∀b

を満たす場合は f(x) = g(x) と見なします。


この立場から見れば、1点での値を替えても積分値は変わらないので、積分論においては同一関数と見なして構わないのです。積分を通して得られる性質は全く同じなので区別する必要はない、という理由でしょう。

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質問した人からのコメント

2019/5/21 16:02:07

お2人とも回答ありがとうございます!
勉強頑張ります。

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elg********さん

2019/5/1707:53:04

U(0)の値は[0,1]の範囲であれば
どの値で定義しても困ることはない。

厳密な数学の議論は別として
工学的な応用のみを考えるのであれば
*わりとどうでもいい* (ふざけているのではなく、本当に瑣末な話なのだ)

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