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Σ[k = 51, 100] 1/k の値を、小数点以下第 5 位を切り捨て、 小数点以下第 4 位ま...

bqb********さん

2019/5/1812:50:17

Σ[k = 51, 100] 1/k の値を、小数点以下第 5 位を切り捨て、
小数点以下第 4 位まで求めて下さい。

必要なら、log 2 ≒ 0.69315 , 2/403 ≒ 0.00496 は使用しても良い。

途中経過もお願いします。
計算機等は使用しないで下さい。

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ベストアンサーに選ばれた回答

nf1********さん

2019/5/2119:23:31

403は201+202と考えて次のような解答を作りました。

Σ[k=51,100]1/k=Sとおく。
y=1/xをx=50から100まで積分するとlog2
(50,1/50),(51,1/51),・・・・,(100,1/100)を結んだ折れ線をy=f(x)
とし、これをx=50から100まで積分すると
1/2{(1/50+1/51)+(1/51+1/52)+・・・・+(1/99+1/100)}
=(1/51+1/52+・・・・+1/100)+1/2(1/50-1/100)=S+1/200
y=1/xは下に凸だからlog2<S+1/200

y=1/xをx=101から202まで積分するとlog2
区間[101,103)で1/102,[103,105)で1/104,[105,107)で1/106,・・・・
[199,201)で1/200,[201,202]で2/403の値をとる関数をg(x)とする。
y=g(x)をx=101から202まで積分すると
2(1/102+1/104+・・・・+1/200)+2/403=S+2/403

log2>S+2/403を証明するにはk>a>0として
∫[k-a,k+a](1/x-1/k)dx>0を示せばよいがこれを後回しにする。
S+2/403<log2<S+1/200よりlog2-1/200<S<log2-2/403
log 2 ≒ 0.69315 , 2/403 ≒ 0.00496より
0.69315-0.005<S<0.69315-0.00496
0.68815<S<0.0.68819 ∴求める値は0.6881

A(k)=∫[k-a,k+a](1/x-1/k)dx>0の証明
A(k)=log(k+a)-log(k-a)-2a/k
A(x)=log(x+a)-log(x-a)-2a/x (x>a)
A'(x)=1/(x+a)-1/(x-a)+2a/x^2=2a{1/x^2-1/(x^2-a^2)}<0
x→∞のときA(x)=log{(x+a)/(x-a)}-2a/x→0
A(x)はx>aで単調減少でx→∞のときA(x)→0だから成り立つ。

A(k)=∫[k-a,k+a](1/x-1/k)dx>0はもっと簡単に証明できると思います
がわかりません。

いまさっき、できてませんと書きましたがほとんどできてました。
A(k)>0が成り立つことをEXCELで確認しようとしてA(k)<0になったので
困っていました。EXCELのlogが常用対数であるのを忘れていました。

  • 質問者

    bqb********さん

    2019/5/2217:58:24

    ありがとうございます。

    より一般化して、以下の定理が成り立つと思います。

    x = k-α~k+α の範囲で下に凸な関数 y = f(x) において、
    x = k における接線を y = g(x) とすると、

    ∫[k-α, k+α] f(x) dx > ∫[k-α, k+α] g(x) dx
    = ∫[k-α, k+α] f(k) dx

    実質的には、nf1828 さんと全く同じですが、
    以下が用意していた解答です。

    上記定理より、
    Σ[k = 51, 100] 1/k < ∫[50.5, 100.5] 1/x dx
    (1/2)(1/100.75) < ∫[100.5, 101] 1/x dx
    辺々足して、整理すると、
    Σ[k = 51, 100] 1/k < log 2 - 2/403

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質問した人からのコメント

2019/5/24 17:17:12

お二方とも本当にありがとうございました。
melancholycoris さん、
大変興味深い回答をありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

mel********さん

2019/5/2022:24:31

分かりませんでしたが気になったので計算したことを。

log2=∫[50,100]dx/x

=Σ[k=50,99]∫[0,1]dx/(x+k)

1/(x+k)=1/k-x/k^2+x^2/k^3-x^3/k^4+....なので

=Σ[k=50,99]1/k-1/(2k^2)+1/(3k^3)-1/(4k^4)+...


Σ[k=50,99]1/k^2
を飛び出したところは三角形で近似してしまう方法で近似すると

≒∫[50,100]dx/x^2+(1/50^2-1/100^2)/2 (誤差は10^(-6)くらいみたい)

=1/100 + 3/20000

同様に
Σ[k=50,99]1/k^3

≒∫[50,100]dx/x^3+(1/50^3-1/100^3)/2

=3/20000 + 7/2000000

...
必要な桁的に大体
log2≒Σ[k=50,99]1/k -(1/100 + 3/20000)/2 + (3/20000)/3

Σ[k=50,99]1/k ≒ log2 + 1/200 + 1/40000

Σ[k=51,100]1/k ≒ log2 - 1/200 + 1/40000 =0.688172180...

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