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0≦x≦πとする

lfc********さん

2019/5/2014:32:18

0≦x≦πとする

f(x)=sinx+2cosx
の最大値と最小値の求め方教えてください

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hir********さん

2019/5/2014:40:52

(解法-1)
y=sinθ+2cosθ=√5(sinθ*1/√5+cosθ*2/√5)=√5sin(θ+α)
但し、αは、sinα=2/√5、cosα=1/√5を満たす鋭角。
従って、0≦θ≦πより、α≦θ+α≦π+α
つまり、-sinα≦sin(θ+α)≦1
よって、-2≦√5sin(θ+α)≦√5

(解法-2) ‥‥ 線形計画法で出来る。
sinθ=α、cosθ=βとすると、0≦θ≦πから
α^2+β^2=1 ‥‥①、0≦α≦1、|β|≦1
従って、円:α^2+β^2=1の、0≦α≦1、|β|≦1の部分。
つまり、円:①の右半分。この条件に対して、
直線:α+2β=k ‥‥②の値域を考える。

この直線の傾き=-1/2<0から
・最大値 ‥‥①と②が接するときだから
円の中心と直線との距離=円の半径 → |k|/√5≦1 → k≦√5
・最小値 ‥‥ 点(0、-1)を通る時、つまり、k≧-2.
以上から、 -2≦k≦√5

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