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0<x<1かつ0<y<1のとき、p=x^2+yかつq=x+y^2で表される軌跡(p,q)を求めよ

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ID非公開さん

2019/5/2518:26:22

0<x<1かつ0<y<1のとき、p=x^2+yかつq=x+y^2で表される軌跡(p,q)を求めよ

どうやって求めますか?

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def********さん

2019/5/3122:33:13

ID非公開さん(2019/5/25 18:26:22)への回答
0<x<1かつ0<y<1のとき、p=x^2+yかつq=x+y^2で表される軌跡(p,q)を求めよ
==========

0<x<1かつ0<y<1 …①
p=x^2+y …②
q=x+y^2 …③

①はxy平面上で4点(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)を4頂点とする正方形の内部を表す.
また,②はy軸を対称軸とする上に凸の放物線を表し,③はx軸を対称軸とする右に凸の放物線を表す.

①②③から,0<p<2, 0<q<2 …④

②から,y=p-x^2
③に代入して,q=x+(p-x^2)^2 ⇔ (x^2-p)^2=q-x
⇔ x^4-2px^2+x+p^2=q ・・・⑤
(この式の左辺をf(x) (0<x<1) とおく)
f'(x)=4x^3-4px+1
f'(x)=0 とすると,x^2+(1/(4x))=p ・・・⑥
(この式の左辺をg(x) (0<x<1) とおく)

g'(x)=(8x^3-1)/(4x^2)
g'(x)=0 とすると,x=1/2
g(1/2)=(1/4)+(1/2)=3/4

〔g(x)の増減表〕
x→+0 のとき,g(x)→∞
0<x<1/2 のとき,g'(x)<0 で,g(x)は単調減少.
x=1/2 のとき,g'(x)=0 で,g(x)は極小値 3/4 をとる.
1/2<x<1 のとき,g'(x)>0 で,g(x)は単調増加.
x→1-0 のとき,g'(x)>0 で,g(x)→5/4
(添付図の水色線を参照してください)

よって,f(x)の増減表は,i) 0<p<3/4, ii) p=3/4, iii) 3/4<p<5/4, iv) 5/4≦p<2 の4つの場合に分けられる.

i) 0<p<3/4 のとき,g(x)=p を満たす実数xは存在せず,f'(x)>0
①②から,0<p-x^2<1 ⇔ p-1<x^2<p
0<p<3/4 だから,xの取りうる値の範囲は,0<x<√p
〔f(x)の増減表〕
x→+0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→p^2+0
0<x<√p のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調増加.
x→(√p)-0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→√p-0

よって,⑤から,qの取りうる値の範囲は,p^2<q<√p

ii) p=3/4 のとき,g(x)=p を満たすxはx=1/2
①②から,xの取りうる値の範囲は,0<x<(1/2)√3
〔f(x)の増減表〕
x→+0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→(9/16)+0
0<x<1/2 のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調増加.
x=1/2 のとき,f'(x)=0 で,f(x)=3/4
1/2<x<(1/2)√3 のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調増加.
x→(1/2)√3-0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→(1/2)√3-0

よって,⑤から,qの取りうる値の範囲は,9/16<q<(1/2)√3

iii) 3/4<p<5/4 のとき,g(x)=p, 0<x<1 を満たすxは2つ存在する.この2解をα,β (0<α<1/2<β<1) とする.
α^2+(1/(4α))=p, β^2+(1/(4β))=p …⑦

①②から,0<p-x^2<1 ⇔ p-1<x^2<p
xの取りうる値の範囲は,p≦1, 1<p で分けられ,次のようになる.
iii-a) 3/4<p≦1 のとき,xの取りうる値の範囲は,0<x<√p
iii-b) 1<p<5/4 のとき,xの取りうる値の範囲は,√(p-1)<x<1

iii-a) 3/4<p≦1 のとき,xの取りうる値の範囲は,0<x<√p
g(√p)=p+(1/(4√p))>p だから,0<α<β<√p
〔f(x)の増減表〕
x→+0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→p^2+0
0<x<α のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調増加.
x=α のとき,f'(x)=0 で,f(x)は極大値 f(α) をとる.
α<x<β のとき,f'(x)<0で,f(x)は単調減少.
x=β のとき,f'(x)=0 で,f(x)は極小値 f(β) をとる.
β<x<√p のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調増加.
x→(√p)-0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→√p-0

f(α)>√p となるpの範囲を求める.
f(x)=(x/4)f'(x)-px^2+(3/4)x+p^2, f'(α)=0 だから,
f(α)=-pα^2+(3/4)α+p^2
=-{α^2+(1/(4α))}α^2+(3/4)α+{α^2+(1/(4α))}^2 (∵⑦)
=α+(1/(16α^2))

f(α)>√p ⇔ {f(α)}^2-p>0
⇔ {α+(1/(16α^2))}^2-{α^2+(1/(4α))}>0
⇔ (32α^3-1)/(256α^4)<0
∴α<1/2^(5/3) (<1/2)

g(x)はx<1/2 で単調減少だから
p>g(1/2^(5/3))={{1/2^(10/3)}+{1/(2^(1/3))}
=(9/16)・2^(2/3)

また,f(β)<p^2 となるpの範囲を求める.
f(β)=(16β^3+1)/(16β^2)
f(β)<p^2 ⇔ f(β)-p^2<0
⇔ {(16β^3+1)/(16β^2)}-{β^2+(1/(4β))}^2<0 (∵⑦)
⇔ (β/2)(2β^3-1)>0
∴β>1/2^(1/3) (>1/2)

g(x)はx>1/2 で単調増加だから
p>g(1/2^(1/3))={1/2^(2/3)}+{1/2^(5/3)}=(3/4)・2^(1/3)

よって,qの取りうる値の範囲は
3/4<p<(9/16)・2^(2/3) のとき,p^2<q<√p
(9/16)・2^(2/3)≦p<(3/4)・2^(1/3) のとき,p^2<q≦f(α)=ha(p)
(3/4)・2^(1/3)≦p≦1 のとき,hb(p)=f(β)≦p≦f(α)=ha(p)
(ただし,ha(p), hb(p)はそれぞれf(α),f(β)はpで表した式.詳細は後述.)

iii-b) 1<p<5/4 のとき,xの取りうる値の範囲は,√(p-1)<x<1

g(√(p-1))-p=p-1+(1/4){1/√(p-1)}-p
={1-4√(p-1)}/{4√(p-1)}
={1-16(p-1)}/{4√(p-1)・{1+4√(p-1)}}
=(17-16p)/{4√(p-1)・{1+4√(p-1)}}
よって,
iii-b-1) 1<p<17/16 のとき,g(√(p-1))>p で,√(p-1)<α<β<1
iii-b-2) 17/16≦p<5/4 のとき,g(√(p-1))<p で,α≦√(p-1)<β<1

iii-b-1) 1<p<17/16 のとき
〔f(x)の増減表〕
x→√(p-1)+0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→{1+√(p-1)}+0
√(p-1)<x<α のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調増加.
x=α のとき,f'(x)=0 で,f(x)は極大値 f(α) をとる.
α<x<β のとき,f'(x)<0で,f(x)は単調減少.
x=β のとき,f'(x)=0 で,f(x)は極小値 f(β) をとる.
β<x<1のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調増加.
x→1-0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→{1+(p-1)^2}-0

1<p<17/16 のとき,f(β)<{1+√(p-1), f(α)>1+(p-1)^2 だから,
qの取りうる値の範囲は,hb(p)=f(β)≦p≦f(α)=ha(p)

iii-b-2) 17/16≦p<5/4 のとき
〔f(x)の増減表〕
x→√(p-1)+0 のとき,f'(x)≦0 で,f(x)→{1+√(p-1)}-0
√(p-1)<x<β のとき,f'(x)<0で,f(x)は単調減少.
x=β のとき,f'(x)=0 で,f(x)は極小値 f(β) をとる.
β<x<1のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調増加.
x→1-0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→{1+(p-1)^2}-0

17/16≦p<5/4 のとき,1+√(p-1)>1+(p-1)^2 だから,
qの取りうる値の範囲は,hb(p)=f(β)≦q<1+√(p-1)

iv) 5/4≦p<2 のとき,g(x)=p, 0<x<1 を満たすxは1つだけ存在する.この解をα (0<α<1/2) とする.
xの取りうる値の範囲は,①②から
0<p-x^2<1 ⇔ p-1<x^2<p ⇔ √(p-1)<x<√p
5/4≦p<2 から,1/2≦√(p-1)<1, 1<(1/2)√5≦√p<√2 だから,
√(p-1)<x<1

0<α<1/2<√(p-1)<1 だから
〔f(x)の増減表〕
x→√(p-1)+0 のとき,f'(x)<0 で,f(x)→1+√(p-1)-0
√(p-1)<x<1 のとき,f'(x)>0 で,f(x)は単調減少.
x→1-0 のとき,f'(x)>0 で,f(x)→1+(p-1)^2-0

よって,⑤から,qの取りうる値の範囲は,1+(p-1)^2<q<1+√(p-1)


以上,i)~iv)をまとめると,qの取りうる値の範囲は,次のようになります.
0<p<(9/16)・2^(2/3) のとき,p^2<q<√p
(9/16)・2^(2/3)≦p<(3/4)・2^(1/3) のとき,p^2<q≦ha(p)
(3/4)・2^(1/3)≦p<17/16 のとき,hb(p)≦p≦ha(p)
17/16≦p<5/4 のとき,hb(p)≦q<1+√(p-1)
5/4≦p<2 のとき,1+(p-1)^2<q<1+√(p-1)

これを図示すると,添付図の青色網掛け部.
(境界は上記不等式を参照.)


----
[ha(p),hb(p)について]
ha(p),hb(p) はそれぞれf(α),f(β)をpで表した式.
t=α,β, f(t)=k とすると
t^2+(1/(4t))=p,
t+(1/(16t^2))=k
の2式が満たされる。
t^2+(1/(4t))=p ⇔ 4t^3-4pt+1=0 …⑧
t+(1/(16t^2))=k ⇔ 16t^3-16kt^2+1=0 …⑨

⑨ー⑧から
12t^3-16kt^2+4pt=0 ⇔ t(3t^2-4kt+p)=0
t>0 だから,3t^2-4kt+p=0 ∴t=(1/3){2k±√(4k^2-3p)} …⑩
α<β だから,α=(1/3){2k-√(4k^2-3p)}, β=(1/3){2k+√(4k^2-3p)}

f(t)-k=0 から,(p-t^2)^2+t-k=0
この式に⑩を代入して
144p^2-240k^2・p+128k^4-27k=±√(4k^2-3p)・(96kp-64k^3-27)
両辺を二乗して,
(144p^2-240k^2・p+128k^4-27k)^2=(4k^2-3p)(96kp-64k^3-27)^2
これを整理して
(k^2-p)(256k^3-256p^2・k^2-288kp+256p^3+27)=0

(9/16)・2^(2/3)≦p<5/4 で,f(β)<√p<f(α) だから,k^2≠p
∴256k^3-256p^2・k^2-288kp+256p^3+27=0
⇔k^3-p^2・k^2-(9/8)kp+p^3+(27/256)=0
(この式の左辺をj(k)とおく)
j'(k)=3k^2-2p^2・k-(9p/8)
kの2次関数j'(k)のk^2の係数は正で,定数項は負だから,j'(k)=0 は正負2つの実数解をもつ.
この2つの実数解をγ,δ (γ<0<δ) とすると,解と係数の関係から
γ+δ=2p^2/3, γδ=-3p/8

j(k)=(1/9)(3x-p^2)j'(k)-{(2/9)p^3+(3/4)}px+(7/8)p^3+(27/256) だから,
j(γ)j(δ)={-{(2/9)p^3+(3/4)}pγ+(7/8)p^3+(27/256)}{-{(2/9)p^3+(3/4)}pδ+(7/8)p^3+(27/256)}
={(2/9)p^3+(3/4)}^2・p^2・γδ-{(2/9)p^3+(3/4)}p{(7/8)p^3+(27/256)}(γ+δ)+{(7/8)p^3+(27/256)}^2
=-(3/8){(2/9)p^3+(3/4)}^2・p^3-(2/3){(2/9)p^3+(3/4)}{(7/8)p^3+(27/256)}p^3+{(7/8)p^3+(27/256)}^2
=-(4p-3)^3・(16p^2+12p+9)^3/1769472
<0
よって,j(k)の極値j(γ), j(δ)は異符号.
したがって,γ<0<δ, j(0)>0 より,j(k)=0 は負の実数解と正の異なる2つの実数解をもつ.
この3つの実数解のうち,最大のものがha(p)で,2番目に大きいものがhb(p).

j(k)=0の3解は,3次方程式の解の公式を用いて(機械計算で)求めると,
k=ha(p)=((512*p^6-4320*p^3-729)/13824+(sqrt(27-64*p^3)*(64*p^3-27))/(512*3^(3/2)))^(1/3)+(8*p^4+27*p)/(72*((512*p^6-4320*p^3-729)/13824+(sqrt(27-64*p^3)*(64*p^3-27))/(512*3^(3/2)))^(1/3))+p^2/3,

k=hb(p)=(-(sqrt(3)*%i)/2-1/2)*((512*p^6-4320*p^3-729)/13824+(sqrt(27-64*p^3)*(64*p^3-27))/(512*3^(3/2)))^(1/3)+(((sqrt(3)*%i)/2-1/2)*(8*p^4+27*p))/(72*((512*p^6-4320*p^3-729)/13824+(sqrt(27-64*p^3)*(64*p^3-27))/(512*3^(3/2)))^(1/3))+p^2/3

k=((sqrt(3)*%i)/2-1/2)*((512*p^6-4320*p^3-729)/13824+(sqrt(27-64*p^3)*(64*p^3-27))/(512*3^(3/2)))^(1/3)+((-(sqrt(3)*%i)/2-1/2)*(8*p^4+27*p))/(72*((512*p^6-4320*p^3-729)/13824+(sqrt(27-64*p^3)*(64*p^3-27))/(512*3^(3/2)))^(1/3))+p^2/3

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=solve%5Bu%5E3-p%5E2*u%5E2-(9*p...

ID非公開さん(2019/5/25 18:26:22)への回答...

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質問した人からのコメント

2019/6/1 00:32:48

ありがとうございました

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

her********さん

2019/5/2901:39:31

x=0を固定する
x=1を固定する
x=1/2を固定する
それらの条件でyを動かして曲線をかく

y=0を固定する
y=1を固定する
y=1/2を固定する
それらの条件でxを動かして曲線をかく

間を塗りつぶす

軌跡(p,q)という言葉が適切かどうか疑問...

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