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t > 1 のとき、(1 - 1/t)^t < 1/e を示して下さい。 エレガントな解法を希望しま...

bqbsg659さん

2019/6/111:31:08

t > 1 のとき、(1 - 1/t)^t < 1/e を示して下さい。
エレガントな解法を希望します。

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回答数:
2
お礼:
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ベストアンサーに選ばれた回答

kyo********さん

2019/6/120:07:29

log t - log(t-1)
= ∫ [t-1,t] dx/x > 1・1/t
です (^_^) .

  • 質問者

    bqbsg659さん

    2019/6/309:53:26

    ありがとうございます (^^)

    もう少し途中式を書くと、
    対数を外して、(t/(t-1))^t > e
    逆数をとって、(1 - 1/t)^t < 1/e ですね。

    ネイピア数を評価するとき、
    y = 1/x の積分は有効ですね。

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質問した人からのコメント

2019/6/5 08:42:47

お二方ともありがとうございました。
neko_dora_nuko さん、
相加相乗平均の解法大変勉強になりました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

nek********さん

2019/6/114:09:03

m,nは自然数でm<nのとき、AM-GM不等式より、
{n(1-(m/n))+1}/(n+1)>(1-(m/n))^(n/(n+1))
したがって、
(1-(m/n))^n<(1-(m/(n+1))^(n+1)→1/e^m
であり、
(1-(m/n))^(n/m)<1/e
が成り立つ。s>t>1となる有理数s、さらに、tに収束するs未満1より大の有理数の列(t_n)をとる。このとき、
(1-(1/t_n))^t_n<(1-(1/s))^s<1/e
が成り立つことが分かる。極限をとると、
(1-(1/t))^t≦(1-(1/s))^s<1/e
が得られる。

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