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至急 数学の問題で質問です。 解き方を教えてください。 y=x^2のグラフをCとす...

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ID非公開さん

2019/7/1022:52:10

至急

数学の問題で質問です。

解き方を教えてください。

y=x^2のグラフをCとする。b<a^2を満たす点P(a,b)からCへ接線を2本引き、接点をA,Bとする。Cと2本の線分PA,PBで囲まれた図形の面積が2/3になるような点Pの

奇跡を求めよ。

一応写真も貼っときます。

よろしくお願いします

補足答えは放物線y=x^2-1になります

a-b,線分PA PB,接線,b&amp;lt,解き方,題意,ジイ

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vbo********さん

2019/7/1110:35:19

C:y=x²
y'=2x
なので、C上の点(t,t²)における接線の式
y=2t(x-t)+t=2tx-t²…①
これが、(a,b)を通過するから
b=2at-t²…②
t²-2at+b=0…③
③を解いて
t=a±√(a²-b)…④
となる
ここで、④の2解をα,β(α<β)とすると、解と係数の関係も含めて
α=a-√(a²-b)
β=a+√(a²-b)
α+β=2a
αβ=b
β-α=2√(a²-b)
となる

ここで、2本の接線は
ℓ₁:y=2αx-α²…⑤
ℓ₂:y=2βx-β²…⑥
である。題意から、Cはℓ₁,ℓ₂の上になる
囲まれた面積の題意から
∫[α→a]{x²-(2αx-α²)}dx+∫[a→β]{x²-(βx-β²)}dx=2/3…⑦
となる
[x³/3-αx²+α²x][α→a]+[x³/3-βx²+β²x][a→β]=2/3…⑧
⑧*3
{(a³-3a²α+3aα²)-(α³-3α³+3α³)}+{(β³-3β³+3β³)-(a³-3a²β+3aβ²)}=2
(β³-α³)+3a²(β-α)-3a(β²-α²)=2…⑨
ここで
β³-α³=(β-α)(β²+αβ+α²)=(β-α){(α+β)²-αβ}=2(4a²-b)√(a²-b)
β²-α²=(β-α)(β+α)=4a√(a²-b)
であるから、⑨/2
(4a²-b)√(a²-b)+3a²√(a²-b)-6a²√(a²-b)=1
(a²-b)√(a²-b)=1
つまり、
(a²-b)^(3/2)=1
だから
a²-b=1…(∵a²-b>0)
となる
以上から
b=a²-1
となる。P(a,b)であるから、Pの軌跡は
y=x²-1…答
48年も数学から遠ざかっている64のジイさんには計算大変でした

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質問した人からのコメント

2019/7/11 17:04:29

ありがとうございました!

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