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行列式の因数分解についての問題です。

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ID非公開さん

2019/7/2807:56:01

行列式の因数分解についての問題です。

|1 1 1 1|
|x y z ω|
|x^2 y^2 z^2 ω^2|
|x^4 y^4 z^4 ω^4|

この解が、(ω-x)(ω-y)(ω-z)(z-y)×(z-x)(y-x)(x+y+z+ω)になるのですが、
解き方がわかる方いらっしゃいましたら教えてほしいです。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2019/7/2810:36:55

掃き出し法で上三角行列にして対角成分をかけるだけ。
行単位あるいは列単位の共通因数はくくりだしてよい。

Det[{{1, 1, 1, 1}, {x, y, z, w}, {x^2, y^2, z^2, w^2}, {x^4, y^4, z^4, w^4}}]
=-Det[{{1, 1, 1, 1}, {0, x - y, x - z, x - w}, {0, x^2 - y^2, x^2 - z^2, x^2 - w^2}, {0, x^4 - y^4, x^4 - z^4, x^4 - w^4}}]
=-(x - y) (x - z) (x - w) Det[{{1, 1, 1}, {x + y, x + z, x + w}, {(x + y) (x^2 + y^2), (x + z) (x^2 + z^2), (x + w) (x^2 + w^2)}}]
=-(x - y) (x - z) (x - w) Det[{{1, 1, 1}, {0, y - z, y - w}, {0, (y - z) (x^2 + y^2 + z^2 + x y + y z + z x), (y - w) (x^2 + y^2 + w^2 + x y + y w + w x)}}]
=-(x - y) (x - z) (x - w) (y - z) (y - w )Det[{{1, 1}, {x^2 + y^2 + z^2 + x y + y z + z x, x^2 + y^2 + w^2 + x y + y w + w x}}]
=(x - y) (x - z) (x - w) (y - z) (y - w ) Det[{{1, 1}, {0, z^2 - w^2 + y z + z x - y w - w x}}]
=(x - y) (x - z) (x - w) (y - z) (y - w ) (z^2 - w^2 + y z + z x - y w - w x)
=(x - y) (x - z) (x - w) (y - z) (y - w ) (z - w) (x + y + z + w)

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