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分数不等式について基本的なことですが、

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ID非公開さん

2019/8/1612:11:53

分数不等式について基本的なことですが、

2/x+3<x+4をx^2+7x+10>0に変形して解いても答えが出ないのは何故ですか?
グラフを使って解く方法には納得出来ています。
よろしくお願いします。

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nij********さん

2019/8/1612:57:44

場合分けしないならば、
両辺に正の数(x+3)²
をかけます。

2/(x+3)<x+4
より、
2(x+3)<(x+4)(x+3)² ☚ ここです
(x+4)(x+3)²-2(x+3)>0
(x+3){(x+3)(x+4)-2}>0
(x+3)(x²+7x+10)>0
(x+5)(x+3)(x+2)>0
-5<x<-3,-2<x..................(こたえ)


場合分けするならば、
1)x+3>0(すなわち、x>-3)のとき
2<(x+4)(x+3)
(x+4)(x+3)-2>0
x+7x+10>0
(x+5)(x+2)>0
x<-5,-2<x
x>-3より、
x>-2......................(i)

2)x+3<0(x<-3)のとき
2>(x+4)(x+3)
x²+7x+10<0 ☚ ここに注意
(x+5)(x+2)<0
-5<x<-2
x<-3より、
-5<x<-3................(ii)

-5<x<-3,-2<x................(こたえ)




いかがでしょう?

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質問した人からのコメント

2019/8/16 15:02:12

平方数をかけて不等号を変えない解法初めて知りました。
疑問も解決したし新しい解法も知れたのでBAさせていただきます。
ありがとうございます!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2019/8/1612:54:33

2/(x+3)<x+4 。

分母が (x+3)として 両辺に (x+3)を掛けると
2<(x+4)(x+3)=x^2+7x+12
0<x^2+7x+10 としたのでしょうね。
0<(x+5)(x+2)

x<-5, x>-2 としたのでしょうね。

a,b 実数として 両辺に-1(同じ負数)を掛けると
a>b の時 -a<-b と不等号が反対になるのを知ってるはずです。
つまり
分母の x+3 が 正 あるいは 負 で 不等号が変わる。

1)つまり x+3<0 時 x+3は負なので 両辺に負数を掛ければ
等号が反対向きになる。
よって x<-3の時 x^2+7x+10<0
(x+5)(x+2)<0
-5<x<-2 ここで x<-3 の条件から
-5<x<-3 が出てくる。

2)次に x>-3の時 x+3は正なので 符号は変化しない。
0<x^2+7x+10
0<(x+5)(x+2)
x<-5 と x>-2
x>-3の条件があるので
x>-2 となる。


-5<x<-3
x>-2 の答えになる。

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