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y=x³−x²−2xとy=mx²がどんなmに対しても必ず3点で交わることを示し、さらにこの両...

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ID非公開さん

2019/9/1407:21:14

y=x³−x²−2xとy=mx²がどんなmに対しても必ず3点で交わることを示し、さらにこの両曲線によって囲まれる2つの部分の面積を等しくするようにmの値を定めよ。

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2019/9/1410:21:03

y=x³−x²−2x=x(x^2-x-2)=x(x-2)(x+1) (1)

x=-1,0,2でx軸と交差

y=mx² (2)

m≠0のとき放物線、m=0の時直線y=0

(1),(2)を添付図に示す。ピンクが(1),青がm=-2,-1,0,1,2の場合の(2)の曲線である。


i)どんなmに対しても必ず3点で交わることを示し

(1),(2)を連立して

x³−x²−2x=mx^2

x(x^2-(m+1)x-2)=0

mの値によらずx=0,y=0で(1),(2)が交差することを示している。

他の2つの解は

f(x)=x^2-(m+1)x-2=0 (3)

を満たし、mの値によらず

D=(m+1)^2+8≧8

なので必ず2つの異なる実解となる。f(0)=-2≠0なのでx=0とは異なる解である。

よって(1),(2)はどんなmに対しても必ず3点で交わる。


ii)両曲線によって囲まれる2つの部分の面積を等しくするようにmの値を定めよ


(3)の解をp,q(p<q)とすると

S=∫(p→q)[x³−x²−2x-mx²]dx=0

となるmを求めればよい。

S=[x^4/4-(m+1)x^3/3-x^2](p→q)

=[q^4/4-(m+1)q^3/3-q^2]-[p^4/4-(m+1)p^3/3-p^2]

=G(q)-G(p)

f(p)=p^2-(m+1)p-2=0より

p^2=(m+1)p+2

G(p)=

p^4/4-(m+1)p^3/3-p^2=p^2[3p^2-4(m+1)p-12]/12

=[(m+1)p+2][3((m+1)p+2)-4(m+1)p-12]/12

=[(m+1)p+2][-(m+1)p-6]/12

=-[(m+1)p+2][(m+1)p+6]/12

=-[(m+1)^2p^2+8(m+1)p+12]/12

=-{(m+1)^2・[(m+1)p+2]+8(m+1)p+12}/12

=-{[(m+1)^3+8(m+1)]p+2(m+1)^2+12}/12

G(q)=-{[(m+1)^3+8(m+1)]q+2(m+1)^2+12}/12

S=G(q)-G(p)=[(m+1)^3+8(m+1)](p-q)

p≠qなので

S=0のためには

[(m+1)^3+8(m+1)]=(m+1)[(m+1)^2+8]=0

(m+1)^2+8≧8

ゆえに

m=-1

のとき両曲線によって囲まれる2つの部分の面積を等しくする

y=x³−x²−2x=x(x^2-x-2)=x(x-2)(x+1) (1)

x=-1,0,2でx軸と交差...

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nij********さん

2019/9/1407:48:12

y=x³-x²-2x

y=mx²
の共有点のx座標は、
x³-(m+1)x²-2x=0
x{x²-(m+1)x-2}=0
の実数解。

x²-(m+1)x-2=0.......(#)
判別式を、D
と置くと、
D
={-(m+1)}²+8
=(m+1)²+8
>0
異なる二つの実数解を持つ。

($)は、
x=0を解には持たない。

(#)が異なる三個の実数解を持つことより、
必ず三点で交わる。

f(x)
=x³-(m+1)x²-2x
と置くと、
f`(x)
=3x²-2(m+1)x
f``(x)
=6x-2(m+1)

f``(x)=0を解くと、
x=(m+1)/3

(変曲点のx座標は、(m+1)/3
上の異なる三実数解の平均-{-(m+1)}/3)

(#)の二解は、
x=[(m+1)±√{(m+1)²+8}]/2
より、
(m+1)/2=0
m=-1....................(こたえ)


(参考)
y=x³-(m+1)x²-2x
のグラフは、
原点に関して対称




多少省略しました。



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