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解説教えてください

あるあるbotさん

2019/9/1817:13:24

解説教えてください

共有点,C1C2,接線,y軸,cos,解説

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ベストアンサーに選ばれた回答

kan********さん

2019/9/2416:51:45

C1:y=4x^2/(x^2+4),C2:y=4-√(r^2-x^2)が2つの異なる共有点で共通の接線を持つ
(1)
共有点で共通の接線を持つので共有点を持つ接線の傾きが等しい
C1=C2
4x^2/(x^2+4)=4-√(r^2-x^2)
√(r^2-x^2)=4-4x^2/(x^2+4)=4(x^2+4)/(x^2+4)-4x^2/(x^2+4)=16/(x^2+4)

C1'=C2'
{(4x^2)'*(x^2+4)-4x^2*(x^2+4)'}/{(x^2+4)^2}=4*0-1/2*(r^2-x^2)^(1/2-1)*(r^2-x^2)'
{8x*(x^2+4)-4x^2*2x}/{(x^2+4)^2}=-1/2*1/√(r^2-x^2)*(-2x)
32x/{(x^2+4)^2}=x/√(r^2-x^2)=x/(16/(x^2+4))
32x/{(x^2+4)^2}=x(x^2+4)/16
32x/{(x^2+4)^2}*16/16-x(x^2+4)/16*{(x^2+4)^2}/{(x^2+4)^2}=0
512x/{16(x^2+4)^2}-{x(x^2+4)^3}/{16(x^2+4)^2}=0
x{512-(x^2+4)^3}/{16(x^2+4)^2}=0
x{(8-(x^2+4))(8^2-8*(x^2+4)+(x^2+4)^2)}/{16(x^2+4)^2}=0
x{(4-x^2)((x^2+4)^2+2*(-4)*(x^2+4)+(-4)^2-16+64}/{16(x^2+4)^2}=0
x(4-x^2)((x^2+4-4)^2+48)/{16(x^2+4)^2}=0
x(4-x^2)(x^4+48)/{16(x^2+4)^2}=0
x^4+48>0,16(x^2+4)^2>0より
x=0,4-x^2=0
x=0,x=±2
x=0のとき
√(r^2-0^2)=16/(0^2+4)
r=16/4=4
x=±2のとき
√(r^2-(±2)^2)=16/((±2)^2+4)
√(r^2-4)=16/(4+4)=2
r^2-4=2^2
r^2=4+4=8
r=±2√2
r>0よりr=2√2
r=4だと1つの共有点でしか共通接線を持たないのでr=2√2
この時の共有点のy座標は
4*((±2)^2)/((±2)^2+4)
=16/8
=2
共有点の座標は(2,2),(-2,2)

(2)C1とC2で囲まれる面積S
-2<x<2のときC2はC1より下にくるので求める面積は
∫[-2→2]{4-√((2√2)^2-x^2)-4x^2/(x^2+4)}dx
=∫[-2→2]{4-√(8-x^2)-4(x^2+4-4)/(x^2+4)}dx
=∫[-2→2]{4-√(8-x^2)-4+16/(x^2+4)}dx
=∫[-2→2]{-√(8-x^2)+16/(x^2+4)}dx
=-∫[-2→2]{√(8-x^2)}dx+∫[-2→2]{16/(x^2+4)}dx

x=2√2*sinθとするとdx=2√2*cosθ*dθ
x:-2→2のときθ:-π/4→π/4
∫[-2→2]{√(8-x^2)}dx
=∫[-π/4→π/4]{√(8-(2√2*sinθ)^2)}*2√2*cosθ*dθ
=∫[-π/4→π/4]{√(8-8*(sinθ)^2)}*2√2*cosθ*dθ
=∫[-π/4→π/4]{√8*√(1-(sinθ)^2)}*2√2*cosθ*dθ
=∫[-π/4→π/4]{√8*cosθ*√8*cosθ}*dθ
=∫[-π/4→π/4]{8*(cosθ)^2}*dθ
=∫[-π/4→π/4]{8*(cos(2θ)+1)/2}*dθ
=∫[-π/4→π/4]{4*(cos(2θ)+4}*dθ
=[4*sin(2θ)/2+4*θ][-π/4→π/4]
=4*sin(2*π/4)/2+4*π/4-(4*sin(2*(-π/4))/2+4*(-π/4))
=4*1/2+π-(4*(-1)/2+(-π))
=2+π+2+π
=2π+4

x=2tanφとおくとdx=2*1/((cosφ)^2)*dφ
x:-2→2のときφ:-π/4→π/4
∫[-2→2]{16/(x^2+4)}dx
=∫[-π/4→π/4]{16/((2tanφ)^2+4)}*2*1/((cosφ)^2)*dφ
=∫[-π/4→π/4]{16/(4(tanφ)^2+4)*2*1/((cosφ)^2)}dφ
=∫[-π/4→π/4]{4/((tanφ)^2+1)*2*1/((cosφ)^2)}dφ
=∫[-π/4→π/4]{4(cosφ)^2*2*1/((cosφ)^2)}dφ
=∫[-π/4→π/4]{8}dφ
=[8φ][-π/4→π/4]
=8*π/4-8*(-π/4)
=2π+2π
=4π

S=-∫[-2→2]{√(8-x^2)}dx+∫[-2→2]{16/(x^2+4)}dx
=-(2π+4)+4π=2π-4

(3)
(2)をy軸の周りに1回転してできる図形の体積V
C1:y=f(x),C2:y=g(x)とするとf(-x)=f(x),g(-x)=g(x)なのでC1,C2はy軸に対して対称だから正の部分で考える
求める体積は
π*∫[f(0)→f(2)]{x^2}dy+π*∫[g(2)→g(0)]{x^2}dy
=π*∫[f(0)→f(2)]{x^2}dy/dx*dx+π*∫[g(2)→g(0)]{x^2}dy/dx*dx
=π*∫[0→2]{x^2*32x/{(x^2+4)^2}}*dx+π*∫[2→0]{x^2*x/√((2√2)^2-x^2)}*dx
=π*∫[0→2]{32x(x^2+4-4)/{(x^2+4)^2}}*dx+π*∫[2→0]{(8-(8-x^2))*x/√(8-x^2)}*dx
=π*∫[0→2]{32x/(x^2+4)-128x/{(x^2+4)^2}}*dx+π*∫[2→0]{8x/√(8-x^2)-x√(8-x^2)}*dx
=π*[32*1/2*log(x^2+4)-128*(-1/2)*1/(x^2+4)][0→2]+π*[8*(-√(8-x^2))-(-1/3*(√(8-x^2))^3)][2→0]
=π*[16*log(x^2+4)+64/(x^2+4)][0→2]+π*[-8√(8-x^2))+1/3*(√(8-x^2))^3)][2→0]
=π*{16*log(2^2+4)+64/(2^2+4)-{16*log(0^2+4)+64/(0^2+4)}}+π*{-8√(8-0^2))+1/3*(√(8-0^2))^3)-{-8√(8-2^2))+1/3*(√(8-2^2))^3)}}
=π*{16*log8+64/8-16*log4-64/4}+π*{-8√8+1/3*(√8)^3)+8*√4-1/3*(√4)^3}
=π*{16*3log2+8-16*2log2-16}+π*{-16√2+16/3*√2+16-8/3}
=π*{-8+16log2}+π*{40/3-32/3*√2}
=π*{-8+16log2+40/3-32/3*√2}
={16/3-32√2/3+16log2}π

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