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ベクトルa,b,cが1次独立のとき、次のベクトルの組みは1次独立か (1)a,a+b,a+b+c ...

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ID非公開さん

2019/10/409:36:50

ベクトルa,b,cが1次独立のとき、次のベクトルの組みは1次独立か
(1)a,a+b,a+b+c
(2)a-b,b-c,c-a
がわかりません。教えてください

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回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

das********さん

2019/10/410:58:09

(1)a,a+b,a+b+c
一次独立の定義から
ax+(a+b)y+(a+b+c)z=0
を満たす実数x,y,zがx=y=z=0だけであれば一次独立になります。

変形すると
ax+ay+by+az+bz+cz=0
a(x+y+z)+b(y+z)+cz=0
a,b,cは一次独立なので、
x+y+z=y+z=z=0
が成り立ちます。
これを解くとx=y=z=0となるため、a,a+b,a+b+cは一次独立です。


(2)a-b,b-c,c-a
一次独立の定義から
(a-b)x+(b-c)y+(c-a)z=0
を満たす実数x,y,zがx=y=z=0だけであれば一次独立になります。

しかし、x=y=z=1とすると
(a-b)+(b-c)+(c-a)
= a-b+b-c+c-a
= 0
となるため、a-b,b-c,c-aは一次独立ではありません。

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質問した人からのコメント

2019/10/4 11:32:39

ありがとうございます。
とても分かりやすいです。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

2019/10/410:41:08

(1)a,a+b,a+b+c

どのベクトルも他のベクトルの1次結合で表されないので3つのベクトルは1次独立です。

(2)a-b,b-c,c-a

c-a=-[(a-b)+(b-c)]

となりc-aは他のベクトルの1次結合で表されるので1次独立ではない。

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