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中3数学 内接円の半径、二次関数の問題を教えて下さい。 <C=90度の直角三角形AB...

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ID非公開さん

2019/10/1023:58:34

中3数学 内接円の半径、二次関数の問題を教えて下さい。

<C=90度の直角三角形ABCにおいて、周の長さが48cmで、内接円の半径が4cmである。
この時の斜辺の長さを求めなさい。

また、残り2辺の長さを求めなさい。

y=1/3X^2 (3分の1エックスの二乗) で、
xの値が10%増加するとyの値は何%増加しますか。

この2つの問題をお願いします。

前者の内接円の半径に関してですが、S=r/2(a+b+c)の公式は習っていませんが
三角形の中に3つの三角形を作り、それぞれの高さを内接円の半径として3つの三角形の面積を合わせた大きさ=おおもとの三角形の面積、として考える方法を習っているので、実質その公式を習っているということにはなるかと思います。

この問題に関しては完全にお手上げでした。
直角三角形、周の長さ48、内接円の半径4という情報しかなく、
内接円の半径から辺の長さを求めるには、その三角形の面積が必要。
では三角形の面積が「直角三角形」と「周の長さ」という2つの情報から求められるのか→無理なのでは?
という感じで行き詰まってしまいました。


後者の二次関数に関しては以下のような考え方で一応答えにたどり着けはしました。これで良いのか、これより簡単な考え方はないか、教えて下さい。

y=2X^2 (2エックスの二乗)で考える。
X=10 のとき、y=200
Xの10を1.1倍すると11になるので
X=11 のときの y=242
yの値が 200 から 242 になった。
242 / 200 = 1.21 なので1.21倍になった。
%に直すと 21%の増加、よって答えは21%

傾きを問題文の1/3ではなく勝手に2として考えましたが正しい答えを求めることはできました。
これはたまたまではなく、傾きが何であろうとこのような考え方をすれば良いと思っておいてよさそうでしょうか。

よろしくおねがいします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

2019/10/1102:08:37

図を参照してください
△ABCにおいて、内接円の中心をO、
辺BC,CA,ABと内接円の接点をP,Q,Rとします

★ポイント
円外の1点から引いた接線の長さは等しい

(1)CQ=CP、OQ⊥AC、OP⊥BCから
四角形OPCQは正方形となり、CQ=CP=4cm

(2)AR=AQ=x、BR=BP=yとすると
周囲が48cmより、2x+2y+8=48 で、x+y=20
【斜辺AB=AR+BR=x+y=20】

(3)また、x+y=20より、y=20-xなので
AC=x+4、BC=y+4=(20-x)+4=24-x、AB=20
三平方の定理を利用して、(x+4)²+(24-x)²=20²
方程式を解いて、x=12、8
AC=16、12、このとき、BC=12、16 となるので
【残りの2辺は、12cmと16cm】

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
y=ax²
★yはx²に比例するので、(aに関係なく)
xが2倍,3倍、…となると、yは2²倍、3²倍…となる

y=(1/3)x²で
「xが10%増加する」ということは
「xが1.1倍となる」ので
yがx²に比例することから
「yは1.1²倍=1.21倍となり」
【yは21%増加する】

図を参照してください
△ABCにおいて、内接円の中心をO、...

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mohlin0515さん

2019/10/1112:56:29

>この時の斜辺の長さを求めなさい。
直角三角形ABCにおいて、∠C=90°であるとき、斜辺はAB。
斜辺AB上の接点をD、斜辺BC上の接点をE、斜辺AC上の接点をFとすると、AD=AC-4=AF。BD=BC-4=BE。CE=CF=内接円の半径=4cm。

斜辺AB=AD+BD、ってことですね。
直角三角形ABCの周の長さが48cmということは、AD+4+BD+4+AD+BD=48。これを計算していくと:
2AD+2BD=48-4-4=40
2(AD+BD)=40
AD+BD=20。

∴斜辺の長さ=20cm

>また、残り2辺の長さを求めなさい。
AD+BD=20…①;三平方の定理より、(AD+4)²+(BD+4)²=20²=400…②。
②を展開して、AD²+8AD+16+BD²+8BD+16=400。
整理して、AD²+BD²+8(AD+BD)=400-16-16=368。
①を代入すると、AD²+BD²+8*20=368 → AD²+BD²=368-160=208。
①より、BD=20-AD。
よって、AD²+(20-AD)²=208 → AD²+AD²-40AD+400=208 → 2AD²-40AD+192=0 → AD²-20AD+96=0 → (AD-12)(AD-8)=0。
AD=12,8。

∴AC=12+4=16cm、BC=8+4=12cm(あるいは逆に、AC=8+4=12cm,BC=12+4=16cm)

>y=1/3X^2 (3分の1エックスの二乗) で、xの値が10%増加するとyの値は何%増加しますか。
y=x²/3において、xのとき y=x²/3。これはOKですね。
xの値が10%増加するということは、x→1.1xということ。
よって、1.1xのとき、y=(1.1x)²/3=1.21x²/3。
yの値が1.21倍 → 21%増。

∴xの値が10%増加すると、yの値は21%増加

&gt;この時の斜辺の長さを求めなさい。 
直角三角形ABCにおいて、∠C=90°であるとき、斜辺はAB。...

prt********さん

2019/10/1102:49:13

三角形の方は公式も分かってそうですし、図の問題なんですから図を書いて分かってること全部書き込んで分かってる式も全部書けば解けたと思いますよ。

三角形の方は公式も分かってそうですし、図の問題なんですから図を書いて分かってること全部書き込んで分かってる式も全部...

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