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この積分わかる人教えてください

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ID非公開さん

2019/11/1117:32:34

この積分わかる人教えてください

定積分,積分わかる人,sinθ+cos,2 0,logsin,置換,sinφd

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mat********さん

2019/11/1413:23:25

与式の定積分をIとする。
t=sinθ と置換
t:[1,0]→θ:[π/2,0]
dt=cosθ dθ

したがって、
I=∫[π/2,0](-cos^3θ)/(sinθ+cosθ) dθ
=∫[0,π/2]cos^3θ/(sinθ+cosθ) dθ

ここで、φ=π/2-θ と置換
θ:[0,π/2]→[π/2,0]
dθ=-dφ
したがって、
I=∫[π/2,0]sin^3φ/(cosφ+sinφ) (-dφ)
=∫[0,π/2]sin^3φ/(cosφ+sinφ) dφ
定積分なので変数を戻してよく、
I=∫[0,π/2]sin^3θ/(sinθ+cosθ) dθ

よって
I+I=∫[0,π/2](sin^3θ+cos^3θ)/(sinθ+cosθ) dθ
2I=∫[0,π/2](sin^2θ-sinθcosθ+cos^2θ) dθ
…=∫[0,π/2]{1-(1/2)sin(2θ)} dθ
…=[θ+(1/4)cos(2θ)][0,π/2]
…=(π-1)/2

∴ I=(π-1)/4

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suz********さん

編集あり2019/11/1414:06:51

∫(1→0)(t²-1)/(t+√(1-t²))dt

=∫(0→1)(1-t²)/(t+√(1-t²))dt

被積分関数f(t)=(1-t²)/(t+√(1-t²))で、

分子=(1/2)[{(√(1-t²)+t)(√(1-t²)-t)}+1]だから、

=(1/2){∫(0→1)(√(1-t²)-t)dt+∫(0→1)1/(t+√(1-t²))dt}...①

ここで、{ }の中の第1の積分は、

∫(0→1)(√(1-t²)-t)dtは、t=sinθと置くと、

dt=cosθdθ, t=0の時、θ=0、t=1の時、θ=π/2

=∫(0→π/2)(cosθ-sinθ)cosθdθ

=∫(0→π/2)cos²θdθ-∫(0→π/2)sinθcosθdθ

=∫(0→π/2)(1+cos2θ)/2dθ-(1/2)∫(0→π/2)sin2θdθ

={θ/2+sin2θ/4}(0→π/2)-(1/2){(-cos2θ)/2}(0→π/2)

=π/4-(1/2)*(1/2+1/2)

=π/4-(1/2)

一方、{ }の中の第2の積分は、t=sinθと置くと、

∫(0→1)1/(t+√(1-t²))dt

=∫(0→π/2)cosθ/(sinθ+cosθ)dθ

=∫(0→π/2)cosθ/(√2sin(θ+π/4))dθ

ここで、θ+π/4=φと置くと

=(1/√2)∫(π/4→3π/4)cos(φ-π/4)/sinφdφ

=(1/√2)∫(π/4→3π/4)(cosφ*1/√2+1/√2*sinφ)/sinφdφ....(修正)

=(1/2)∫(π/4→3π/4)(cosφ+sinφ)/sinφdφ

=(1/2)∫(π/4→3π/4)cosφ/sinφdφ+(1/2)∫(π/4→3π/4)dφ

=(1/2){logsinφ}(π/4→3π/4)+(1/2){φ}(π/4→3π/4)

=0+π/4

=π/4

これらを①に代入して、

求める定積分=(1/2){π/4-(1/2)+π/4}=(1/4)(π-1)

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