ここから本文です

次の位相空間はHausdroffか?

mer********さん

2019/11/1316:38:11

次の位相空間はHausdroffか?

(R,U1)を1次元ユークリッド位相空間とする
R上の同値関係をx~y⇔x-y∈Z(整数全体)で定義

このとき(R/~,U1/~)商位相空間はHausdroffか?

同値関係の定め方より同値類に入ってる点は整数の長さだけ離れてますし、それとU1はopen ballによる開集合なのでなんとなく成り立たなそうですが

閲覧数:
11
回答数:
1

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

clickyさん

2019/11/1404:13:16

mer********さん

はい, Hausdorff です.

R/~ の異なる2点 [a], [b] (a,b はそれぞれの代表元) をとると
|a - b| = k + r, k∈Z, 0<r<1
と表すことができます.
つまり, R/~ はそのままでは距離空間とは言えないが, [a] と [b] は r の距離を持つと言えます. 言いかえると, 便宜上の (R/~ が Hausdorff であることを証明するための) 距離として定義しても構わないということ. このとき, d([a],[b]) = r とする.
ただし, 距離空間は Hausdorff ですが, この距離をつかって Hausdorff であると言ってはいけません. 勝手に入れた距離ですから.
自然な写像を p:R→R/~ とするとき
[a] の近傍として
B([a],r/2) = {x∈R/~ | d(x,[a])<r/2},
[b] の近傍として
B([b],r/2) = {x∈R/~ | d(x,[b])<r/2} をとると, それぞれの逆像は
p^(-1)(B([a],r/2))
= {a+k+s | k∈Z, -r/2<s<r/2}
= ∪[k∈Z] (a+k-r/2, a+k+r/2) … 開区間の和
p^(-1)(B([b],r/2))
= {b+k+s | k∈Z, -r/2<s<r/2}
= ∪[k∈Z] (b+k-r/2, b+k+r/2) … 開区間の和
となり, それぞれが開集合であるから, 商空間の定義により, B([a],r/2) も B([b],r/2) も R/~ の開集合である.
B([a],r/2) ∩ B([b],r/2) = 空集合
である. なぜならば, 便宜上とは言えども, d は距離の条件をみたしているから, 三角不等式の条件 d([a],[b])=r≦d(x,[a])+d(x,[b]) であるが, d(x,[a])<r/2 かつ d(x,[b])<r/2 ⇒ d(x,[a])+d(x,[b])<r だから.
[a] の開近傍と [b] の開近傍で交わらないものの存在が示されたので, R/~ は Hausdorff である.

質問した人からのコメント

2019/11/15 13:57:38

ありがとうございます理解できました

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる