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ベクトル解析の問題です これの解き方と答えを教えください

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ID非公開さん

2019/12/1219:20:07

ベクトル解析の問題です
これの解き方と答えを教えください

div f dv,ベクトル解析,解き方,Esin,Γ,極座標,x²+y

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2019/12/1223:44:35

(1) r=√(x²+y²) として、z=log r → z=(1/2)log(x²+y²)
なので、Γは
(x,y,(1/2)log(x²+y²))

(2)
Γの面積分は計算が複雑(多分)なので、ガウスの定理から、体積分
に変換する。

Γと√(x²+y²)=eの円筒とz=0の平面で囲まれた、ドーナッツのような
領域をVとして、この領域の積分を考える。円筒部にある面をS、z=0
上の面をS₀とする。

ガウスの定理から
∫[Γ+S+S₀]f・ndS=∫[V]div f dv
→ ∫[Γ]f・ndS=∫[V]div f dv-∫[S]f・ndS-∫[S₀]f・ndS・・・・①
となる。

f=(x,y,z)/(x²+y²)
∂xfx={1(x²+y²)-x(2x)}/(x²+y²)²=(-x²+y²)/(x²+y²)²
∂yfy={1(x²+y²)-y(2y)}/(x²+y²)²=(x²-y²)/(x²+y²)²
∂zfz=1/(x²+y²)
div f=1/(x²+y²)

●Vの領域の体積分は z=zの面で、極座標にして r=exp(z)~eの範囲、
θ=0~2π、z=0~1の範囲で積分する。
x²+y²=r² だから div f=1/r²

∫[V]div f dv=∫[0,1]dz∫[r=exp(z),e]∫[θ=0,2π] rdθdr 1/r²
=2π∫[0,1]dz∫[exp(z),e]dr 1/r=2π∫[0,1]dz [log r][r=e,exp(z)]
=2π∫[0,1]dz [log e-log(exp(z))]=2π∫[0,1]dz(1-z)
=2π [z-z²/2] [z=1,0])=2π(1-1/2)=π・・・・②

●Sの側面の面積分は r=e、n=(cosθ,sinθ,0) なので、
f=(x,y,z)/(x²+y²)=(ecosθ,esinθ,z)/e²=(cosθ/e,sinθ/e,z/e²)
f・n=cos²θ/e+sin²θ/e+0=1/e

∫[S]f・ndS=(1/e)∫[S]dS=(1/e)(2πe・1)=2π・・・③

●S₀の底面リング板の面積分は z=0だから
f=(x,y,0)/(x²+y²) , n=(0,0,-1) , f・n=0・・・・④
∫[S₀]f・ndS=0

ゆえに ①~④から
∫[Γ]f・ndS=π-2π-0=-π


(2)
Γの境界で、z=1 の面の円周をCとし、z=0の面の円周をC₀とする。
Γの面に切断線をいれて、CとC₀をつないで、閉曲線とすると、スト
ークスの定理から(C₀は方向が反対になる)
∫[Γ] rot g・ndS=∫[C-C₀] g・dℓ=∫[C] g・dℓ-∫[C₀] g・dℓ
となる。

●Cの円周では極座標にして r=e, z=1 だから
dℓ=e(-sinθ,cosθ,0)dθ
g=(-y,x,0)/(x²+y²+z²)=(-esinθ,ecosθ,0)/(e²+1)
となり

∫[C] g・dℓ=∫[0,2π] e(sin²θ+cos²θ)/(e²+1) dθ
=2πe/(e²+1)

●C₀の円周では極座標にして r=1, z=0 だから
dℓ=(-sinθ,cosθ,0)dθ
g=(-y,x,0)/(x²+y²+z²)=(-sinθ,cosθ,0)/(1²+0)
となり
∫[C₀] g・dℓ=∫[0,2π] (sin²θ+cos²θ)/(1) dθ=2π

ゆえに
∫[Γ] rot g・ndS=2πe/(e²+1)-2π=2π{e/(e²+1)-1}

(1) r=√(x²+y²) として、z=log r → z=(1/2)log(x²+y²)
なので、Γは...

  • 2019/12/1317:44:55

    訂正
    (2)

    ∫[C] g・dℓ=∫[0,2π] e²(sin²θ+cos²θ)/(e²+1) dθ
    =2πe²/(e²+1)=2πe²/(e²+1)

    ゆえに
    ∫[Γ] rot g・ndS=2πe²/(e²+1)-2π=-2π/(e²+1)

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ssm********さん

2019/12/1221:05:37

r(u, v)=(e^u*cos(v), e^u*sin(v), u). と書けます。(0≦u≦1, 0≦v<2pi) これを利用して計算してください。
----------

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