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以下の問題がわかりません。 微分の定義に基づいて次を示せ.f(x) = |x| は x =...

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ID非公開さん

2020/6/220:42:45

以下の問題がわかりません。

微分の定義に基づいて次を示せ.f(x) = |x| は x = 0 で微分不可能だが, g(x) = |x|sin x は x = 0 で微分可能である。

回答よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

sho********さん

2020/6/221:20:42

絶対値の定義と微分可能の定義を思い出しましょう。
x→+0とx→-0で場合分けすると、f(x)の導関数がx→+0のときは|x|/x=1,x→-0のときは|x|/x=-1となり一致しません。よってlim(x→0)|x|/xは存在しないので、f(x)はx=0で微分不可能です。

g(x)についても同様にx→+0とx→-0で場合分けすると、g(x)の導関数がx→+0のときは|x|sinx/x=sinx→0,x→-0のときは|x|sinx/x=-sinx→0となり一致します。よってlim(x→0)|x|sinx/xが存在するので、g(x)はx=0で微分可能です。

参考:
https://examist.jp/mathematics/limit/katagawakyokugen/

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質問した人からのコメント

2020/6/3 20:26:08

ありがとうございます!

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