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下の問題の答えは、「63倍」になりますが解き方がわかりません。 小学生の娘に...

tsu********さん

2020/6/315:27:34

下の問題の答えは、「63倍」になりますが解き方がわかりません。
小学生の娘に理解させてあげたいのですが、どなたかこの解説を教えてもらえませんか?

(問題)
下の(図1)のような直角二等辺三角形を直線ℓ1のまわりに1回転させたときにできる立体をPとし、(図2)のような9個の正方形の内部に作った斜線部分の八角形を直線ℓ3のまわりに1回転させたときにできる立体をRとします。
このとき、Rの体積はPの体積の何倍ですか?

体積,パップス・ギュルダン,八角形,立体,円錐,まわり,直角二等辺三角形

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ベストアンサーに選ばれた回答

iaq********さん

2020/6/317:27:36

小学生が解くのには些か難しすぎる気もします…

最善かは分かりませんが、私がやった解き方を説明します。
円周率をπとおかせていただきます
また、単位はいちいち書きません

図2を点線にあわせて9つのブロックにわけます。
左上を1 その下を2 さらにその下を3
中上を4 その下を5 さらにその下を6
右上を7 その下を8 さらにその下を9 という番号をふりますね

1番…半径1cmの円柱から半径1cmの円錐を引いた体積なので、π-1/3π=2/3π

2番…半径1cmの円柱なのでπ

3番…1番と同じく2/3π

4番…半径2cmの円柱から半径1cmの円柱を引いた体積なので、4π-π=3π

5番…4番と同じく3π

6番…4番と同じく3π

7番…これが面倒
7番をl軸で回して出来るものを想像してみてください
半径3cmの円錐の上部2cm分が無く、中も半径2cmの円柱分無い というものになります。
これは流石に頭の中で済まさず、図を書いてみましょう
出し方ですが、まず、半径3cmの円錐の体積は9πです
その下1cm分の体積は、上2cm分の円錐の体積を引いたものですので、9π-8/3π=19/3πです
ここから高さ1cm半径2cmの円柱4πを引けばいいので
19/3π-4π=7/3π となります
少しわかりずらいかもですが、時間をかけてやってみてください

8番…半径3cmの円柱から半径2cmの円柱を引いた体積なので、9π-4π=5π

9番…7番と同じく7/3π

これで9つそれぞれの体積がでました。
全部足すと 2/3+1+2/3+3+3+3+7/3+5+7/3=21です

つまり、図2の体積は21πcm^3ですね

図1の体積は半径1cmの円錐なので1/3π

21は1/3の63倍です よって答えは63倍となります。


お子さんの為に親御さんも理解しようとするなんて素敵ですね。
これを参考に、どうか頑張ってください。

質問した人からのコメント

2020/6/3 18:01:05

本当にありがとうございます。助かります。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

cocaさん

2020/6/317:24:20

パップスギュルダン・・・使って良いだろうか。

図1の体積は1×1×3.14×1×1/3。つまり

1/3×3.14(cm³)…あ


図2の図形は面積が、3cm×3cm-1cm²×2=7cm²
ℓ(軸)とこの八角形の重心(今回は真ん中)との距離は、1.5cm。

パップスギュルダンの定理で体積を求めると

7cm²×(1.5cm×2×3.14)
※八角形の面積×(八角形の重心の移動距離)

=21×3.14(cm³)…い

「い」は「あ」の何倍かを答えるので21÷1/3=63より

答え 63倍 です。

地道に解くならば、図2を3段に分割した1段目さえ回転体描いて、円すい作って不要部分を削って計算すれば、体積を出すのは難しくはありません。

両方でやってみると良いと思います。地道に解く力も必要だし、パップスギュルダンは覚えておくと便利です。

「中学受験」「パップス ギュルダン」等々検索してみると良いと思います。


▶参考
http://www.suguru.jp/culture/pappus.html
http://shun-ei.jugem.jp/?eid=686

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