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任意のn次正方行列Aと可換であるn次正則行列Xを全て求めよ。という問題を教えてく...

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ID非公開さん

2020/7/110:24:32

任意のn次正方行列Aと可換であるn次正則行列Xを全て求めよ。という問題を教えてください。

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clickyさん

2020/7/112:18:52

ID非公開さん

X = (x_ij) とおく. (最初がアイ, 後がジェイ)

【必要条件】
(λ,μ)成分のみが 1 で, 他成分がすべて 0 である行列 A をとる.

AX = (p_ij) と表すとき
p_ij = Σ[k=1→n] b_ik*x_kj
だから, b_λμ=1 との積の項だけが有効になり, AX の有効成分 (注:0でない可能性のある成分) として残るのはλ行のみで
p_λj = x_μj , j=1,2,…,n

XA = (q_ij) と表すとき
q_ij = Σ[k=1→n] x_ik*b_kj
だから, b_λμ=1 との積の項だけが有効になり, XA の有効成分 (注:0でない可能性のある成分) として残るのはμ列のみで
q_iμ = x_iλ , i=1,2,…,n

すると, AX = XA であるためには
λ行とμ列の交差する成分(λ,μ)として
q_λμ = x_λλ = p_λμ = x_μμ
および
i≠λであるとき, q_iμ = x_iλ = 0
j≠μであるとき, p_λj = x_μj = 0

(λ,μ) の組み合わせは, 1≦λ≦n と 1≦λ≦n の範囲で任意で選べるから
x_11 = x_22 = … = x_nn = c (定数)
かつ
i≠j のとき x_ij = 0
となり, 題意を満たすための必要条件として, X はスカラー行列 cI である. (ここで I はn次単位行列)

【十分条件】
X = cI のとき, 任意のAにたいして, XA = AX を満たすことは明らかで, X がスカラー行列であることは十分条件である.

注1
スカラー行列とは単位行列の定数倍である行列

注2
説明だけでは理解が難しいし, ちょっとした入力間違いがあっても混乱させるだけなので, 画像を添付しました.
n = 4 の場合
(λ,μ) = (3,2) であるときの例

ID非公開さん

X = (x_ij) とおく. (最初がアイ, 後がジェイ)

【必要条件】...

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    質問者

    ID非公開さん

    2020/7/115:04:43

    ありがとうございます!
    書いてあることは理解出来ました。
    とてもわかりやすかったです。
    ここで、1つ質問させていただきたいのですが、なぜ「(λ,μ)成分のみが 1 で, 他成分がすべて 0 である行列 A をとる」のでしょうか。問題文にはAは任意と書いてあったので、疑問に思いました。そのようなA以外ではAX=XAとはなり得ないということでしょうか。
    知識不足で申し訳ありませんが、教えていただけると幸いです。

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質問した人からのコメント

2020/7/1 17:35:07

ありがとうございました!

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