ここから本文です

数学の極限の問題です。 この回答は正しいですか? (問題も書いてあります。)

iku********さん

2020/7/1211:02:31

数学の極限の問題です。
この回答は正しいですか?
(問題も書いてあります。)

x&lt,極限,問題,数学,方程式,右辺,tan

閲覧数:
16
回答数:
1

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

2020/7/1600:35:07

答えの数値は合っていますが、答案があまりよろしくありません。

まず、(x+2nπ)sin(x)-cos(x)=0の解が、0<x<π/2の範囲でただ一つであることを示しておいた方がいいかもしれません(万が一、解が二つ以上あったり、解なしであると題意に反するので)。

また、答案中に使われているxは恐らく解のことだと思いますが、そのままだと方程式の変数と捉えられてしまうかもしれないので。また、nに依存しているということを強調するために、添え字にnを付けるとさらに良いでしょう。

あと、答案中の①式は、右辺もnに依存しているので、右辺もn→∞となるはずです。

ところどころ議論が甘いので、一つずつ直していきましょう。



以下、拙いながら私の解答を記述しておきます。

【解答】
まず、任意の整数nに対し、方程式

(x+2nπ)sin(x)-cos(x)=0 (この方程式を(☆)とする)

の解は0<x<π/2の範囲でただ一つ定まることを示す。0<x<π/2よりsin(x)≠0なので、(☆)はx+2nπ=1/tan(x)に等しいから、y=x+2nπとy=1/tan(x)の交点がただ一つであることを言えばよい。f(x)=1/tan(x) (0<x<π/2)とおくと

f'(x)=-1/sin^2(x)<0

よりf(x)は単調減少。また

lim[x→+0]f(x)=∞、lim[x→∞]f(x)=0

なので、グラフを考えれば、y=x+2nπとy=1/tan(x)の交点はただ一つであることが分かる。

さて、(☆)の解をa_nとおく。すると、(a_n+2nπ)sin(a_n)-cos(a_n)=0より

tan(a_n)=1/(a_n+2nπ)

が成り立つ。ここで、0<a_n<π/2よりtan(a_n)>0であり、また

1/(a_n+2nπ)<1/(2nπ)→0 (n→∞)

なので、挟み撃ちの原理により

lim[n→∞]tan(a_n)=0

を得る。tan(x)は0≦x<π/2で連続であったから

tan(lim[n→∞]a_n)=0

であり、a_nの範囲と合わせれば

lim[n→∞]a_n=0

が従う。よって、求める極限値は0。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

質問した人からのコメント

2020/7/16 20:52:17

xがひとつに定まるところからありがとうございました。とても分かりやすかったです。

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる