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lim (x,y)→(0,0) (x^3+xy^2)/(x^2+y^2+xy) の極限値ってありますか?

lim (x,y)→(0,0) (x^3+xy^2)/(x^2+y^2+xy) の極限値ってありますか?

大学数学8閲覧

回答(2件)

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あります。 x=rcosθ y=rsinθ (r>0) と置きます。 r→0のとき、(x,y)→(0,0)です。 (x^3+xy^2)/(x^2+y^2+xy) = (x(x^2+y^2))/(x^2+y^2+xy) = (rcosθ・r^2)/(r^2+r^2cosθsinθ) = rcosθ/(1+cosθsinθ) = 2rcosθ/(2+sin2θ) |2rcosθ/(2+sin2θ) - 0| < 2r であり、r→0のとき、2r→0であるため、 lim (x,y)→(0,0) (x^3+xy^2)/(x^2+y^2+xy) → 0 となります。

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qwt********さん f(x,y)=(x^3+xy^2)/(x^2+y^2+xy) (x,y)≠(0,0) において, 極座標として x=r*cosθ, y=r*sinθ r=√(x^2+y^2) とおく. f(x,y)=r(cos^3(θ)+cosθsin^2(θ))/(1+cosθsinθ) 分母 1+(1/2)sin(2θ) に等しいから, 0 にはならない. したがって, (cos^3(θ)+cosθsin^2(θ))/(1+cosθsinθ) は有限の値しかとらないから, (x,y)→(0,0) ⇔ r→0 のとき, 0 に収束する.