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ID非公開

2020/11/25 23:46

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領域Dで常にfx(x,y)=a,fy(x,y)=b (a,bは定数)ならば

数学 | 大学数学17閲覧

回答(2件)

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質問には書いてありませんが, f は微分可能と仮定されていますよね. 以下, f は微分可能であるとして証明します. 証明. (x₀,y₀) を D の 1 点とする. D の任意の点 (x,y) に対し f(x,y)-f(x₀,y₀)=a(x-x₀)+b(y-y₀) (*) が成り立つことを示そう. D は領域であるから, (x₀,y₀) と (x,y) を D 内で結ぶ折れ線 L が存在する. 最初に L が線分, すなわち L: γ(t)=(1-t)(x₀,y₀)+t(x,y), 0≦t≦1 が D に含まれている場合を考えよう. φ(t):=f(γ(t)) (0≦t≦1) とおくと, 平均値の定理より φ(1)-φ(0)=φ’(t₀) を満たす 0<t₀<1 が存在する. 連鎖律と仮定より φ’(t₀)=(∂f/∂x)(γ(t₀))(x-x₀)+(∂f/∂y)(γ(t₀))(y-y₀) =a(x-x₀)+b(y-y₀) となるので f(x,y)-f(x₀,y₀)=φ(1)-φ(0)=a(x-x₀)+b(y-y₀). 次に L が線分でない, すなわち, L が D 内の 2 個以上の線分を結んで得られる折れ線である場合を考える. L=L[1]+L[2]+…+L[m], L[i]: γ[i](t)=(1-t)(x[i-1],y[i-1])+t(x[i],y[i]), 0≦t≦1, x[0]=x₀, y[0]=y₀, x[m]=x, y[m]=y であったとしよう. L が線分であるときの結果から f(x[1],y[1])-f(x[0],y[0])=a(x[1]-x[0])+b(y[1]-y[0]), f(x[2],y[2])-f(x[1],y[1])=a(x[2]-x[1])+b(y[2]-y[1]), … f(x[m],y[m])-f(x[m-1],y[m-1])=a(x[m]-x[m-1])+b(y[m]-y[m-1]) が成り立つ. これら m 個の等式の辺々を加えれば f(x[m],y[m])-f(x[0],y[0])=a(x[m]-x[0])+b(y[m]-y[0]), すなわち f(x,y)-f(x₀,y₀)=a(x-x₀)+b(y-y₀) が成り立つ. (*) より, c:=f(x₀,y₀)-ax₀-by₀ とすれば f(x,y)=ax+by+c となる. ◽︎

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ID非公開さん 条件 fx(x,y)=a から f(x,y)=ax+g(y), g(y) は y だけの関数 上式の両辺を y で偏微分すると fy(x,y)=g'(y) これと, 条件 fy(x,y)=b から g'(y)=b ⇒ g(y)=bx+c したがって f(x,y)=ax+by+c