5個の区別のあるボールを３つの区別のない箱に入れるときの場合の数はいくつになりますか？
5個の区別のあるボールを３つの区別のない箱に入れるときの場合の数はいくつになりますか？ （１個のボールも入らない箱があってもいいものとする） 答えは６６通りになると思うのです。しかし 「ｎを正の数としてｎ個のボールを３つの箱に分けて入れる問題を考える（ただし１個のボールも入らない箱があってもよいものとする）。 １からｎまで異なる番号のついたｎこのボールを区別のつかない３つの箱に入れる場合、その入れ方はなん通りあるか」（１９９６年東京大学後期理系）という問いの答えが３のｎ－１乗+１分の２になるのですがｎに５を入れたら４１になってしまいます。 どちらが正しいのでしょうか？ また間違っているのならなぜそれが間違っているのでしょうか？
数学・7閲覧・25
ベストアンサー
ボールの入らない箱が1個以下のとき 5個のボールそれぞれがどの箱に入れるかは(3⁵-3)/3!通り (3⁵の中にはボールの入らない箱が2個の場合が3通り含まれるので-3をして、箱の区別をなくすために3!で割っています) ボールの入らない箱が2個のとき 全部同じ箱に入れる1通りだけです。 よって答えは (3⁵-3)/3!+1 = 41通り となります。 ボールがn個なら (3^n-3)/3!+1 となって、変形すると = 3(3^(n-1)-1)/3!+1 = (3^(n-1)-1)/2+1 = (3^(n-1)+1)/2 という形になります。 ということで、66通りになるという方が間違っていることになりますが、どのように考えて66通りになったのかが分からないのでどこが間違っているかは分かりません。
A.B.C はそれぞれ（００５）（０１４）（０２３）（１１３） （１２２）となりますが３つの箱には区別がないため並び替えは不要と考えて ５Ｃ５+５Ｃ１+５Ｃ２+５Ｃ１×４Ｃ１+５Ｃ１×４Ｃ２＝６６ となりました。
質問者からのお礼コメント
ありがとうございました！！
お礼日時：2020/12/2 2:16
