レモン

2021/1/14 16:02

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原始関数の問題がわかりません。

原始関数の問題がわかりません。 下の関数の原始関数を求めてください！実際の途中式もお願いします！ a>0です。

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数学 | 大学数学・17閲覧

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ロカサマスタスキノバヴァントゥ

カテゴリマスター

2021/1/14 16:50

レモンさん 2021/1/14 16:02 準備 「x/(x+a)≧０かつ √{x/(x+a)}<１」より ０≦ｘ z=√{x/(x+a)} とおく z²=x/(x+a)=１－a/(x+a) 両辺をⅹで微分 2zz´=a/(x+a)² ∴z´=(a/2)√{x/(x+a)³} ∴(sin⁻¹z)´=z´/√(1－z²)={√(ax)}/{2(x+a)} ∫sin⁻¹zdx =∫x´sin⁻¹zdx ← 部分積分 =xsin⁻¹√{x/(x+a)}－∫x(sin⁻¹x)´dx =xsin⁻¹√{x/(x+a)}－∫x*{√(ax)}/{2(x+a)}dx =xsin⁻¹√{x/(x+a)}－(√a)/2∫(√x³)/(x+a)dx √x=ｔと置換 =xsin⁻¹√{x/(x+a)}－(√a)/2∫t³*2t/(t²+a)dt =xsin⁻¹√{x/(x+a)}－(1/3)√(ax³)+√(a³x)－a²tan⁻¹√(x/a)

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c_850871

2021/1/14 16:29

t=arcsin√{x/(x+a)} とおけば sint=√{x/(x+a)} sin²t=x/(x+a) これをxについて解くと x=a/(1-sin²t)=a/cos²t dx=a･(-2)(-sint)/(cos³t)dt =2asint/(cos³t) dt ですので 与式=∫2atsint/(cos³t) dt…☆ ここで部分積分を適用すべく ∫sint/(cos³t)dt を考えると cost=uとおくと -sintdt=du ですから ∫-1/u³ du =(1/2) 1/u² =1/(2cos²t) (途中計算なので積分定数は省いています) これから☆は 2at･{1/(2cos²t)} - ∫2a{1/(2cos²t)}dt =at/cos²t - atant + C ここで cos²t=1 - x/(x+a)=a/(x+a) tant=sint/cost=√{x/(x+a)}/√{a/(x+a)} =√(x/a) 以上より求める不定積分は a･(x+a)/a ･arcsin√{x/(x+a)}-a√(x/a) + C =(x+a)arcsin√{x/(x+a)} - √(ax) + C…(答え)