原始関数の問題がわかりません。

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数学 | 大学数学17閲覧

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t=arcsin√{x/(x+a)} とおけば sint=√{x/(x+a)} sin²t=x/(x+a) これをxについて解くと x=a/(1-sin²t)=a/cos²t dx=a・(-2)(-sint)/(cos³t)dt =2asint/(cos³t) dt ですので 与式=∫2atsint/(cos³t) dt…☆ ここで部分積分を適用すべく ∫sint/(cos³t)dt を考えると cost=uとおくと -sintdt=du ですから ∫-1/u³ du =(1/2) 1/u² =1/(2cos²t) (途中計算なので積分定数は省いています) これから☆は 2at・{1/(2cos²t)} - ∫2a{1/(2cos²t)}dt =at/cos²t - atant + C ここで cos²t=1 - x/(x+a)=a/(x+a) tant=sint/cost=√{x/(x+a)}/√{a/(x+a)} =√(x/a) 以上より求める不定積分は a・(x+a)/a ・arcsin√{x/(x+a)}-a√(x/a) + C =(x+a)arcsin√{x/(x+a)} - √(ax) + C…(答え)