jsh********さん 2021/1/22 3:14 １）y“－4y´+4y=8x－12 特性方程式 λ²－4λ+4＝０ を解いて λ＝2（重解） 基本解 e^2x, xe^2x 特殊解を yp=αx+β と置き、原式に代入(未定係数法) α= β= (非同次式の一般解) = (同次式の一般解) + (非同次式の特殊解) y=(C₁+C₂x)e^2x +2x－1 ２）y“－4y´+5y=5x²－13x+16 特性方程式 λ²－4λ＋5＝０ を解いて 基本解 (e^2x)cosx, (e^2x)sinx 特殊解を yp=αx²+βx+ɤ と置き、原式に代入(未定係数法) α= β= ɤ= 一般解 y＝(C₁cosx+C₂sinx)e^2x+x²－x＋2 ３）もはや自力で解ける 基本解 e^x, e^2x, e^3x 右辺は定数だから yp=(定数) －6yp=６より yp=－１ ◆定数係数二階同次線形微分方程式 y''+py'+qy=０ （p,q：実定数） 式を観察するとｙは「微分しても形の変わらない関数」つまり指数関数であることがわかる。 y=e^λt とおき、原式に代入 λ²+pλ+q=０（特性方程式） λ=(－p±√D)/2=λ₁, λ₂ （D=p²－4q） ア）D＞０のとき基本解 e^λ₁x , e^λ₂x 二階線形微分方程式だから一般解は、基本解の一次結合（重ね合わせ） 一般解 y＝C₁e^λ₁x＋C₂e^λ₂x イ）D=p²－4q=０のとき λ=－p/2 （重解） 基本解 e^λx , xe^λx ＊y=C(x)e^λx と置き、原式に代入。C(x)についての微分方程式を解けば、もう一つの解 y=xe^λx が出てくる ウ）D＜０のとき λ={－p±i√(－D)}/2=α±βi=λ₁, λ₂ (複号同順) α=－p/2, β=(1/2)√(－D) 基本解 e^(α+βi)x, e^(α－βi)x 一般解 y＝c₁e^(α+βi)x＋c₂e^(α－βi)x （C₁,C₂：複素定数） オイラーの公式 e^ix=cosx+ｉsinx を使う ={(c₁+c₂)cosβx+(c₁－c₂)ⅰsinβx}e^αx c₂=c₁* （c₁の共役複素数）とする =(C₁cosβx+C₂sinβx)e^αx ただし C₁= c₁+c₁* , C₂=（c₁－c₁*)ｉ （C₁, C₂ ：実数の任意定数）