ID非公開
ID非公開さん
2021/1/24 3:49
1回答
x,y⊂Xで p(x,y)=d(x,y)/1+d(x,y) とおくとき、pもXの距離であることを示せ
x,y⊂Xで p(x,y)=d(x,y)/1+d(x,y) とおくとき、pもXの距離であることを示せ 以上の問題で、距離空間の公理を3つ満たす事を示せば良いのは分かるのですが、 d(x,y)≦d(x,z)+d(z,y)を満たす事を示す方法が分かりません。 御教授願います。
大学数学・10閲覧・250
ベストアンサー
f(t) = t/(1 + t) (t ≧ 0) を考えると = 1 - 1/(1 + t) より単調増加であるため (0 ≦) a ≦ b ならば f(a) ≦ f(b) です♪ このことを使うと p(x, y) = f(d(x, y)) について 三角不等式 d(x, y) ≦ d(x, z) + d(z, y) より ≦ f(d(x, z) + d(z, y)) = {d(x, z) + d(z, y)}/{1 + d(x, z) + d(z, y)} = d(x, z)/{1 + d(x, z) + d(z, y)} + d(z, y)/{1 + d(x, z) + d(z, y)} ≦ d(x, z)/(1 + d(x, z)) + d(z, y)/{1 + d(z, y)} = p(x, z) + p(z, y) ですね(*◕ ◡◕)✿♫♬
質問者からのお礼コメント
大変分かり易い解説、ありがとうございます。
お礼日時：1/24 23:53
