f(x) = x/(x^3 +1) まずこの関数がx≧1で単調減少であることを示す。 単純に微分しても良いが面倒なので、 g(x) = 1/f(x) = x^2 + 1/x が単調増加することを示す。これはx≧1の時に g'(x) = 2x - 1/x^2 > 2x -1 >0 なので単調増加と分かる。 以上からf(x)が単調減少だと略解だが示せた。 よって、1≦n<x<n+1について、 f(n+1) < f(x) < f(n) が成り立つ。それぞれをn<x<n+1について積分すると、 f(n+1) <∫[n~n+1] f(x) < f(n) になる。これをn=1,2,3....,N-1まで和をとれば問題の不等式になる。