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ID非公開

2021/1/27 9:47

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e^-(x^2+y^2)をD={x^2+y^2≦R^2,0≦y}の積分領域で積分して欲しいです

数学 | 大学数学6閲覧

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ID非公開さん 変数変換として極座標にする. x=r*cosθ, y=r*sinθ r=√(x^2+y^2) Jacobian は ∂(x,y)/∂(r,θ) = |∂x/∂r ∂x/∂θ| |∂y/∂r ∂y/∂θ| = |cosθ -r*sinθ| |sinθ r*cosθ | = r 積分領域としては E = {(r,θ) | 0≦r≦R, 0≦θ≦π} 以上から ∫∫D e^-(x^2+y^2) dx dy = ∫∫E e^(-r^2) r dr dθ = ∫[0,π]∫[0,R] r e^(-r^2) dr dθ = ∫[0,π] (-1/2) e^(-r^2) [r:0,R] dθ = (1/2)∫[0,π] (1-e^(-R^2)) dθ = (1/2) (1-e^(-R^2)) θ [θ:0,π] = (π/2) (1-e^(-R^2))