これは要するに、人の目の位置(添付図の点A)から地球に引いた接線の長さ(添付図の線分AD)を求めればいいわけです。
まず、方べきの定理より、
AD²=AB×AC
なので、
AD=√(AB×AC)
です。
ここで
AB=(人の目の高さ)
AC=(地球の直径)+(人の目の高さ)
ですが、地球の直径に比べれば人の目の高さは無視できるほど小さいので、
AC≒(地球の直径)
としていいでしょう。
したがって、
(水平線までの距離)
=√((地球の直径)×(人の目の高さ))
ということになります。
では、実際の長さを大雑把に計算してみましょう。
まず、地球は一周すると約40,000kmです。
これは地球の直径に円周率をかけたものですから、
(地球の直径)×π=40,000
です。よって地球の直径は、およそ
(地球の直径)=40,000/π (km)
となります。
次に人の目の高さですが、これはもちろん人によって違います。
しかしまあ、大体1.5mくらいだとすると、これはπ=3.14…のちょうど半分くらいなので、この際、(π/2) m だということにしてしまいましょう。
kmに直すと、(π/2,000) km です。
したがって、
(水平線までの距離)
=√((地球の直径)×(人の目の高さ))
=√((40,000/π) × (π/2,000))
=√20
=2√5
=4.472…
ということで、およそ4kmちょっとだという計算になります
