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2021/3/2 3:04

77回答

平方根の近似値を使う場合

補足

問題文に「√2=1.4として計算せよ」と書いてあるような問題の時にどうすればいいのか迷うのです。 何かの面積を出せという問題の時などに、例えば色々計算した結果が321/√2となり、√2=1.4を用いる指示が出ている場合などにどうすればいいか迷います。 そのままの場合321/1.4=229.28 (∴229cm^2) 有理化する場合、123√2/2 = 321×1.4÷2 =224.7(∴225cm^2) みたいに値がわりと変わってきてしまいます。 また極端な話、の例で言えば (321/1.4)×(16/16) = (321/1.4)×(((√2)^8)/16) = (321/1.4)×((1.4^8)/16 = (321×1.4^7)/16 =211.4(∴211cm^2)みたいな式変形ですらOKということになるのでは?という疑問です。

回答(7件)

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√2=1.4と表示されていたなら当然それに従う。 ただ√2=1.4142 √3=1.7321は覚えているでしょう。 (√2)²₌2として使います。其々で違いますね。一概には言えません。 唯√2=1.4142と覚えていれば後はどうにでもなるという事です。 例えばあまりあり得ないが 面積を出したとき √2-1.415は負だから明らかにおかしいでしょう。 その時見直しが出来ますね。以上です。

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近似値は,それ以上計算ができなくなった時点でその数に置き換えます。 もしも(√2)^2を1.4^2で計算することが許されるのであれば,たとえば 4 =(4√2)/(√2) ={(4√2)×(√2)}/{(√2)×(√2)} 分母有理化 =(4×2)/(1.4×1.4) のように,何でもありのカオス状態になってしまいます。 このような混乱を避けるために,ルートには 1. ルートの中はなるべく小さい自然数にする 2. 分母にルートはおかない という2大鉄則があるのです。このルールがあるから,ルートの数は誰がかいても同じものになるのです。つまり,(√2)^2は誰が計算しても2になるのですから,まずその形にすることが大前提です。 なので,計算できるものはすべて計算してしまわねばなりません。

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1/√2 =0.7071067811865…………① 1/√2 ≒ 1/1.4=0.7142857142857………… ①との誤差 + 0.0071789330992 (√2)/2 ≒ 1.4/2 = 0.7 ①との誤差 - 0.0071067811865 解の有効数字を2桁にする場合,途中計算は3桁で 計算するものなので,それでやってみると 1/√2 ≒ 1/1.41=0.7092198581560………… ①との誤差 + 0.002113076969528 (√2)/2 ≒ 1.41/2 = 0.705 ①との誤差 - 0.0021067811865 分母の有理化をするかどうかで,真値より大きめになるか 小さめになるかの違いはあるが,誤差の大きさは そんなに変わらないような? >そのままの場合321/1.4=229.28 (∴229cm^2) >有理化する場合、123√2/2 = 321×1.4÷2 =224.7(∴225cm^2) 違いますね。有効数字2桁なんだから そのままの場合 321/1.4=229.28 ………… = 2.3×10^2 cm^2 有理化する場合 321(√2)/2 = 321×1.4÷2 =224.7 = 2.2 × 10^2 cm^2 下一桁で差がでるが,有効数字2桁の近似計算の 精度はこんなもんということでは? ちなみに 321/√2 = 226.98127 ………… だから,有効数字2桁なら = 2.3×10^2 cm^2 になりますね

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近似値を使うのは最終手段です。計算できる間は√のままで 計算しておいて、できなくなった時点で近似値に当てはめます。 たとえば、1/√2を1/1.414で計算すると誤差が大きいですが、 1/√2=√2/2にしてから1.414/2なら暗算でも0.707と出るので 誤差が少なくなります。

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